Düzgün Süreklilik-VI

Question

$(X,d)$ metrik uzay ve $A ,$ $X$ kümesinin boştan farklı belirli bir altkümesi olmak üzere $$f(x)=d(x,A)$$ kuralı ile verilen $$f:X \rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu düzgün sürekli olduğunu gösteriniz.

Comments

İpucu bu linkteki bilgide saklı.

Answer 1

$$|f(x)-f(y)|=|d(x,A)-d(y,A)|\leq d(x,y)$$

olduğundan her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta$ sayısını $0<\delta\leq\epsilon$ olarak seçmek yeterli olacaktır. 

Her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta$ sayısı $0<\delta\leq\epsilon$ olarak seçilirse her $x,y\in X$ için

$$d(x,y)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$ koşulu sağlanır. Yani 

$$(\forall\epsilon >0)(\exists\delta >0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d(x,y)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon)$$ önermesi doğru yani $f$ fonksiyonu düzgün sürekli olur.