(x∈X)(a∈A)⇒d(x,A):=inf{d(x,a)|a∈A}≤d(x,a)(x,y∈X)(a∈A⊆X)⇒d(x,a)≤d(x,y)+d(y,a)⇒d(x,a)−d(y,a)≤d(x,y)}⇒
⇒d(x,A)−d(y,a)≤d(x,a)−d(y,a)≤d(x,y)
⇒d(x,A)−d(x,y)≤d(y,a)
⇒d(x,A)−d(x,y)∈{d(y,a)|a∈A}a
⇒d(x,A)−d(x,y)≤d(y,A)
⇒d(x,A)−d(y,A)≤d(x,y)…(1)
Benzer şekilde
−d(x,y)≤d(x,A)−d(y,A)…(2) bulunur. O halde
(1),(2)
⇒
−d(x,y)≤d(x,A)−d(y,A)≤d(x,y)
⇒
|d(x,A)−d(y,A)|≤d(x,y).
Not: {d(y,a)|a∈A}a:={x|z∈{d(y,a)|a∈A}⇒x≤z}
yani {d(y,a)|a∈A}a kümesi, {d(y,a)|a∈A} kümesinin alt sınırlarının oluşturduğu küme.