Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$\displaystyle\int^{4}_{0}\left( \sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}\right)dx$ ifadesinin eşiti nedir?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (96 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

hangı yolları denedıgınızı de eklersenız daha güzel faydalanabılırsiniz.

eşlenik ile yapmayı denedim , ama paydaya bir yorum gelmedi sonra çemberde zor gözüküyor

ben birşeyler yazıcagım, ayrıca integral için \displaystyle\int kullanırsanız daha hoş integral çubuğu oluşucaktır.$\displaystyle\int$ gibi

Anladım daha yeni başladım alışırım zamanla umarım teşekkürler

Kök içlerini $4^2-(x-4)^2$ ve 

$ 2^2-(x-2)^2$ şeklinde düşünebilirsiniz.

İntegral förmüllerinde bunların  benzeri var mı diye bakın.


aynen ben de böyle  yazdım  yemege gitim geldim şimdi bitiriyordum :)

Geometrik (integralin alan hesaplıyor olması) olarak düşünmeyi denedin mi?

Dogan hocam $\displaystyle\int\sqrt{16-(x-4)^2}d(x-4)$ gibi  yarı çember gibi düşünmekten bahsediyorsunuz sanırım .

Geometrik cevap eklendi , dönüşümlere ek açıklama yapıldı.saygılar.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

çok odunumsu olan diğer çözümüm haricinde bir çözüm daha var.

$x-4=u$ 

ve

$x-2=t$   dönüşümünden,

$\displaystyle\int^{4}_{0}\left( \sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}\right)dx=\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du-\displaystyle\int^{2}_{-2}\sqrt{4-t^2}dt$  olur bunları yarım çemberler olarak düşünerek te yapabiliriz.

Bu görsel $\displaystyle\int^{2}_{-2}\sqrt{4-t^2}dt$ 'in alanıdır.
image

Bu görsel ise $\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{4-u^2}du$ 'nun alanıdır.

image

Görselleri matematiğe dökersel 1.görselde yarıçapı 4 olan çeyrek çemberdir ve alanı $4\pi$ dir

2. görselde yarıçapı 2 olan yarım çemberdir ve alanı $2\pi$ dir , farkları ise $4\pi-2\pi=2\pi$ gelir.

Ek açıklama,

$\displaystyle\int^{4}_{0}\left( \sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}\right)dx=\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du-\displaystyle\int^{2}_{-2}\sqrt{4-t^2}dt$

Bunu nasıl yazdım?

$\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du$   u göstererek diğerlerini de anlayabiliriz.

$\displaystyle\int^{4}_{0}\sqrt{8x-x^2}dx=\displaystyle\int^{4}_{0}\sqrt{16-(x-4)^2}dx$ burada $x-4=u$ dersem

üst sınır 4 olurken $x-4=0$ olur

altsınır 0 olurken $x-4=-4$ olur ve tüm integralde $x-4=u$ dersek


$\displaystyle\int^{0}_{-4}\sqrt{16-u^2}du$

burada $du$ yazdım çünki $d(x-4)=du=dx$ olduğundan yazabildik.$\Box$

(7.8k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

bu cevap daha güzel :D

Neden daha guzel?

Mantıklı, sıkıcı matematıksel işlemlerden daha kısa ve daha garantili(görüyorsun inanıyorsun daha çok hissediyorsun).

ilki de geometri. Burada integrallerin degerlerini kabul ediyorsun ve $\pi r^2$ diyorsun.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\displaystyle\int\sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}dx=\underbrace{\displaystyle\int \sqrt{16-(x-4)^2}dx}_A-\underbrace{\displaystyle\int\sqrt{4-(x-2)^2}dx}_B$

$A$ için $x-4=4sinu$ 

$B$ için $x-2=2sint$ dönüşümleri yapalım.


$A=16.\displaystyle\int cos^2udu$

$B=4.\displaystyle\int cos^2t.dt$

şimdi ise ,

$cos2x=2cos^2x-1$ dönüşümünden faydalanalım ve,


$A=16.\displaystyle\int cos^2udu=16.\displaystyle\int \dfrac{cos2u}{2}du=16.\dfrac{sin2u+2}{4}+C=4.arcsin\left(\dfrac{x-4}{2}\right)+8+C_1$


$B=4.\displaystyle\int cos^2t.dt=4\displaystyle\int\dfrac{cos2t}{2}dt=4.\dfrac{sin2t+2}{4}+C=arcsin\left(x-2\right)+2+C_2$

$\displaystyle\int\sqrt{8x-x^2} -\sqrt{4x-x^2}dx=A-B=4.arcsin\left(\dfrac{x-4}{2}\right)+8-arcsin\left(x-2\right)-2+C$

$\to 4.arcsin\left(\dfrac{x-4}{2}\right)-arcsin\left(x-2\right)+6+C$ olur ,belirli integral sınırlarını koyarsak,

$2\pi$ gelir.

(7.8k puan) tarafından 

Beni bilmem ama siz kesinlikle ODTÜ fizik veya matematik okumalısınız, çok başarılısınız, belkide okuyorsunuz teşekkürler emeğinize sağlık

yok ,okumuyorum seneye umarım, çok teşekkür ederim ama bu çözüm beni tatmin etmedi daha güzel çözümler olucaktır.

ikisi de dandik bolum.

daha iyisi ?        

ogrencinin iyi olmasi. 

hocam OTDÜ'yü zor bitirmişsiniz bir de ne diyorsunuz

Hocam üniversite hayatınızda çok yıpranmış gözüküyorsunuz ki lisans bölümleri böyle zaten , Türkiye de fazla ilerlenmiyor zaten bu bölümlerde yurtdışı inşallah , sadece diploma ve dil lazım. Diploma dil de öğrencinin iyi olması sonucu olurdu zaten

Düzeltme gereği görüyorum, Sercan hoca, odtü matematiği 3 senede bitiriyor.(o yüzden latifeledim kendilerini) .Ve haklısınız türkiyedeki lisans fakülteleri çok kötü, hele temel bilimler çöpe atılmış vaziyette.... bakalım, hayırlısı

Yurt disi da ayni, Odtu daha iyi bile diyebilirim. Simdi de yurt disi yipratmis olur:)

Hocam hakkınızda fazla birşey görmedim ondan:) Buralarda harcanıyorsunuz bence 3 yıl nedir yahu....Tebrik ederim ,

Buralarda niye harcansın yahu, sercan hoca dahil çok kaliteli hocalar var ,zaman geçirdikçe görebilirsin.

Sonunda olecegiz, her turlu harcanmis oluyoruz... Foton gibi kendimi adama dusuncem yok...

hocam , yazılı kagıdına

"Foton gibi kendimi adama dusuncem yok..."


  böyle yazmayın aman !!

20,194 soru
21,723 cevap
73,246 yorum
1,857,546 kullanıcı