Alan Ne demektir? ispatlayınız

Question

Alan'ın tanımı nedir?

Bir fonksiyondan daha basit olarak ,örneğin : kenarları $a$ ve $b$    ($a\neq b$)  ve köşeleri   $A,B,C,D$   olan bir dirtdörtgenin alanını sadece limit kullanarak $A(ABCD)=a.b$ olduğunu  ispatlayınız.

ve yukardakinden aldığımız sonucu kullanarak veya kullanmadan bir üçgenin alanının  

  [$\dfrac{1}{2}$ yükseklik $\times$ taban uzunluğu]   olduğunu ispatlayınız.

Comments

bolu $2$ olacak bir de..

---

yazdımda hocam şekıl olsun dıye dfrac yapıyım dedım olmadı

---

limiti nasil kullanacagiz peki? yani integal ile, yani Riemann toplami ile, hesaplasak kucuk dikdortgenlerin alanini toplayacagiz.

---

integral yasak sadece birşeyin biyerlere gittigini kullanabiliriz oda limit demek .İntegralle çok kolay oluyor:) ama integral yazarsanızda güzel olur .

edit:bende güzel bir fikri var ama biraz bekledikten sonra yazmak istiyorum:D

---

ve bir ipucu söylemem gerek sanırım. Bu yöntem için doğru parçaları düşünülebilir.Ve aksiyomatik olarak alan tanımınıda eklemek gerek.

---

birde zaten riemanın sonsuz kücük dirtdörtgenlerinde .kenarları a,b olan dirtdörtgenin alanının a.b oldugu kabul edılıyor bunu ıspatlarken rıeman kullanamayız sanıyorum.

---

Aksiyom olarak dikdortgenin alani $ab$ ise napcaz peki?

---

işte soruda bu zaten daha temel bir aksiyom ve yöntemle ab yi ispat edebilirmiyiz?

---

kardesim a.b yi kabul etmek zorundasın 

bunun temeli a birim uzunlugunda b noktayi üst üste koyucaz filanmı diyosun bak sen olayı hiç anlamamıssın sen matematikcimisin? 

orda olan sey a.b yada a+b degil o bi simge kabuldür bunun ispatını limitle nasıl vericeksin ver bakalım ha riemann toplamıyla zaten a.b oldugu gün gibi ortada n bölüntü kümesini alalım max degerlerine bakalım çok ilginçki hepsi aynı çünki dogrusal bi dikdörtgen :D   yani a.b olur limitli ispatını bekliyorum alan konusu basit bi konu degildir f(x)= c sabit fonksiyonunu al bide aralık al heh [a,b] aralıgında altında kalan alan nedir ?   b-a.(c) hadi limitle ispatla bakalım

---

Bence sorulara biraz ozenli bakmalisiniz. Elbet de alan $ab$ fakat neden boyle, neye gore boyle. Basit sorulara bir cevap veremezsek daha zorlarini anlayamayiz.

---

Bravo! dilimin ucundaki şeyi söylediğiniz için teşekkür ederim . En basiti açıklayamazken kesinlikle üstlere çıkamayız.

Answer 1

http://matkafasi.com/70634/alan-teoremim-icin-gereken-temel-soru-degildir

burdaki temelime dayanarak rahat rahat $[a,b]$ aralıgında sinx fonksiyonumu tanımlayabilirim ve 

aksiyom veya temel olarak birim sinx alan fonksiyonumu tanımlar bunun üzerine inşaamı yaparım .

bu aksiyom bana öyle birşey sağlar ki, hiçbir efor sarfetmeden 1boyuttan 2.boyuta sıçramamı 
sağlar.Sıçratmakla kalmaz 2.boyutta boyutsal hesap yapar (Alan hesaplar)

ilk olarak şunları belirtelim;


$f(x)=lim_{n \rightarrow \infty}sin(\frac{n}{x})$  bu fonksiyonun x yönünde $\infty$ ye ve $-\infty$ ye

2 birim genliğinde uzandığını  görelim.




evet gördük.

şimdide bunu bir aralığa soktuğumuzda $\infty$ ye ve $-\infty$ ye gitmeden $a$  ve  $b$ arasında olduğunu sezelim.

eğer ben  $f(x)=lim_{n \rightarrow \infty}sin(\frac{n}{x})$ için

bir Alan fonksiyonu yaratırsam ve $[a,b]$  aralığı için dirtdörtgenin alt kenar uzunluğunu  $\bigodot_{[a,b]}^{br}$  olarak $(|b-a|)br$ olarak (br=birim)  belirlersem

ve yaratacağım alan fonksiyonunu istediğim bir oranda yukardan ve aşşağıdan daraltırsam istediğim gibi bir birim dirtdörtgen veya bir birim kare oluşturabiliriz ve bu kare ve dirtdörtgenleri kullanarak rieman tarzı bir alan teorisi oluşturabiliriz.

Ben kendi alan fonksiyonum olarak genliği ($\pm y$  yönlerinde) $\ell$ gibi bir değişken ve yan uzunluğunuda ($\pm x$  yönlerinde) $m$ gibi bir değişkenle niteleyip aşşağıdaki fonksiyonu yaratıyorum.


$\Upsilon_{\bigodot_{[a,b]}^{br}}^{\ell}=\Upsilon_{m}^{\ell}:$[x boyutunda m uzunluğunda,y boyutunda $\ell$ uzunluğunda sınırlanan bölgenin alanı]


yukarda da yazılan $f(x)=lim_{n \rightarrow \infty}sin(\frac{n}{x})$  için

biraz modifiye ile 


$k(x):[a,b]\longrightarrow R$ tanımlanan ve

$k(x)=\ell .f(x)$ fonksiyonu olsun

bu sayede $\ell \in \mathbb{R}$ içinde alacağı değerler dirtdörtgenin $\pm y$ boyutlarında genişliğini 
nitelemiş olur ve son olarak da bu eşitliği yazabiliriz.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\Upsilon_{\bigodot_{[a,b]}^{br}}^{\ell}=\Upsilon_{m}^{\ell}=\ell.f(x)=k(x)$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Comments

resim açıklaması:resimdeki siyah alan sonsuzlara uzanan 1 genliğindeki sinx cinsinden fonksiyonun grafiğidir.

---

diğerinden üstte dursun diye en iyi yaptım.

Answer 2

Normal alan tanımlarının aksine 

$sinx$ fonksiyonu üzerinden alan vermek istiyorum

biraz garip gelebilir ama 

$sin(\frac{k}{n})$  için 




$lim_{k \rightarrow \infty}sin(\frac{k}{n})$ dersek ve  


$sin(\frac{k}{n})=f(n)$ için  f  fonksiyonu için

$f:\mathbb{R}\longrightarrow[a,b]$

$[a,b]$ kapalı aralığında 2 genliğinde bir dirtgönenin alanı olur.


Ek olarak cos(x) içinde aynı şeyler geçerli

ve tanx ve cotx için ise sonsuz alan toplamına ulaşıyoruz.

Comments

Hicbir sey anlamadim.

---

$f(x)=sin(\frac{n}{x})$  için

$lim_{n\rightarrow \infty}f(x)$ yaparsak $x\in (-\infty,+\infty)$  ve

$1 \geq f(x)\geq -1$ için yani 2 genliğinde bir dirtdörtgen alanı verir

grafigini çizdirirseniz sizde sezebilirsiniz bende $x\in (-\infty,+\infty)$

Yerine belli bir $x\in[a,b]$($a\neq b$,$b\geq a$) için alıyorum

---

Cok iddiali. 

Ayrica cevaptaki limiti paydada degil payda almissin.

---

ancak öyle oluyor:)

---

biraz daha kafa yorup işlevsel bir hale sokucam sadece sinx gibi trigonometrik değil daha farklı periyodik fonksiyonlar için genelleştirilebilir birşey bulabılırız.

---

Bunu bi ayri basliga tasisana. Soru olarak. Bakalim iddian dogru mu...

Ayrica bu cevabin soru ile alakasi nedir?

---

işte bir alan tanımladım. yarın birtane daha alan tanımlıcam ama uzun olcak lütfen sabırla okuyun:) bunuda bir başlıga taşıyayım.

---

"1≥f(x)≥−11≥f(x)≥−1 için yani 2 genliğinde bir dirtdörtgen alanı verir"

madem alani tanimlamak istiyorsun, bu cumle ne anlama geliyor?

---

tabiki yanlis söylemisim,2 tane cevabım var ,birisi bu biriside noktayı aksiyom olarak kabul edip tanimlayacagim alan teoremim.Burda yani ornegin sinx fonksiyonunda anlatmak istediğim şey ,dirtdörtgen diye bilinen birşeyin bir kenari 2 olan obur kenari sonsuza uzanabilen veya dedigim gibi bellli [a,b] aralığına sıkiştırılabilinen şekilde a,b kapali tanim araligi ve -1 , 1 kapali deger araligindaki tum bosluklari doldurarak alan tanimini vermek. Assonra bu demek istedigimi iyice açıcam ve işlevleştirmek için belki bir ipucu kazanicam.Islevlestirmekten kasit tamam sinx le alan tanimladikta bunu tum dirtdorgenler icin nasil kullaniriz.Ve 2. bir amacta zaten alan tanimina farkli bir bakis acisi getimekti