Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
780 kez görüntülendi

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $A\subseteq X$ ve $B\subseteq Y$ olmak üzere

$$(A\in \mathcal{C}(X,\tau_1))(B\in \mathcal{C}(Y,\tau_2))\Rightarrow A\times B\in \mathcal{C}(X\times Y,\tau_1\star\tau_2)$$ olduğunu gösteriniz.

Yani $(X,\tau_1)$ topolojik uzayında kapalı olan bir küme ile $(Y,\tau_2)$ topolojik uzayında kapalı olan bir kümenin kartezyen çarpımının çarpım uzayında da kapalı olduğunu gösteriniz.

Not: $\mathcal{C}(X,\tau):=\{A|(A\subseteq X)(A, \,\ \tau\text{-kapalı})\}$

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 780 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
$\left.\begin{array}{r} (A\in \mathcal{C}(X,\tau_1))(B\in \mathcal{C}(Y,\tau_2))\Rightarrow (\setminus A\in\tau_1)(\setminus B\in\tau_2) \\  \\ (X\in\tau_1)(Y\in\tau_2) \end{array}\right\}\Rightarrow $

 

$\Rightarrow [(\setminus A)\times Y\in\tau_1\star\tau_2][X\times (\setminus B)\in\tau_1\star\tau_2]$

 

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow [(\setminus A)\times Y]\cup [(X\times (\setminus B)]\in\tau_1\star\tau_2 \\ \\ \setminus (A\times B)=[X\times (\setminus B)]\cup [(\setminus A)\times Y]= [(\setminus A)\times Y] \cup [X\times (\setminus B)]\end{array}\right\}\Rightarrow $

 

$\Rightarrow \setminus (A\times B)\in\tau_1\star\tau_2$

 

$\Rightarrow A\times B\in \mathcal{C}(X\times Y,\tau_1\star\tau_2).$
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Kartezyen Çarpım ve Tümleme Arasındaki İlişkiye Dair
Hocam yanıt evet mi hayır mı?

Önermenin doğru olduğu sonucuna vardık. Yani evet.

Şafak merhaba. Soruyu ve cevabı biraz daha düzenledim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$2.$ bir yanıt olarak da şunu yazabiliriz:

 

$\left.\begin{array}{rr} A\in \mathcal{C}(X,\tau_1)\Rightarrow \overline{A}=A \\ \\ B\in \mathcal{C}(Y,\tau_2)\Rightarrow \overline{B}=B \end{array}\right\}\Rightarrow \overline{A\times B}=\overline{A}\times \overline{B}=A\times B$

 

$\Rightarrow A\times B\in \mathcal{C}(X\times Y,\tau_1\star\tau_2).$
(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,053,613 kullanıcı