(A⊆X)(B⊆Y)⇒(A∘⊆A)(B∘⊆B)⇒A∘×B∘⊆A×B⇒(A∘×B∘)∘⊆(A×B)∘(A⊆X)(B⊆Y)⇒(A∘∈τ1)(B∘∈τ2)⇒A∘×B∘∈τ1⋆τ2⇒(A∘×B∘)∘=A∘×B∘}⇒A∘×B∘⊆(A×B)∘…(1)
(A⊆X)(B⊆Y)⇒A×B⊆X×Y⇒(A×B)∘∈τ1⋆τ2π1:X×Y→X,π1(x,y)=x (τ1⋆τ2 - τ1) açık}?⇒π1[(A×B)∘]∈τ1⇒(π1[(A×B)∘])∘=π1[(A×B)∘]…(2)
(A⊆X)(B⊆Y)⇒A×B⊆X×Y⇒(A×B)∘⊆A×B⇒π1[(A×B)∘]⊆π1[A×B]=A⇒(π1[(A×B)∘])∘⊆A∘…(3)
(2),(3)⇒π1[(A×B)∘]⊆A∘…(4)
(A⊆X)(B⊆Y)⇒A×B⊆X×Y⇒(A×B)∘∈τ1⋆τ2π2:X×Y→Y,π2(x,y)=y (τ1⋆τ2 - τ2) açık}?⇒π2[(A×B)∘]∈τ2⇒(π2[(A×B)∘])∘=π2[(A×B)∘]…(5)
(A⊆X)(B⊆Y)⇒A×B⊆X×Y⇒(A×B)∘⊆A×B⇒π2[(A×B)∘]⊆π2[A×B]=B⇒(π2[(A×B)∘])∘⊆B∘…(6)
(5),(6)⇒π2[(A×B)∘]⊆B∘…(7)
(4),(7)⇒(A×B)∘?⊆π1[(A×B)∘]×π2[(A×B)∘]⊆A∘×B∘…(8)
(1),(8)⇒(A×B)∘=A∘×B∘.
Not : Son "?" işaretinin gerekçesi yorumdaki linkte mevcut. Diğer "?" işaretlerinin olduğu yerlerde de yine kafa yorulmasının faydalı olacağını düşünüyorum.