Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
643 kez görüntülendi

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}$$ olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 643 kez görüntülendi

Bu linkteki bilgiden faydalanabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\left.\begin{array}{ccc} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A^{\circ}\subseteq A)(B^{\circ}\subseteq B)\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow (A^{\circ}\times B^{\circ})^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}\\ \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A^{\circ}\in\tau_1)(B^{\circ}\in\tau_2)\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\Rightarrow (A^{\circ}\times B^{\circ})^{\circ} =A^{\circ}\times B^{\circ} \end{array}\right\}\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}\ldots (1)$


$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\\ \\ \pi_1:X\times Y\to X, \pi_1(x,y)=x \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ açık}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\in\tau_1\Rightarrow\left(\pi_1[(A\times B)^{\circ}]\right)^{\circ}=\pi_1[(A\times B)^{\circ}]\ldots (2)$

$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\subseteq \pi_1[A\times B]=A\Rightarrow (\pi_1[(A\times B)^{\circ}])^{\circ}\subseteq A^{\circ}\ldots (3)$

$(2),(3)\Rightarrow \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\subseteq  A^{\circ}\ldots (4)$


$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\\ \\ \pi_2:X\times Y\to Y, \pi_2(x,y)=y \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2) \text{ açık}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\in\tau_2\Rightarrow\left(\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\right)^{\circ}=\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\ldots (5)$

$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq \pi_2[A\times B]=B\Rightarrow (\pi_2[(A\times B)^{\circ}])^{\circ}\subseteq B^{\circ}\ldots (6)$

$(5),(6)\Rightarrow \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq  B^{\circ}\ldots (7)$

$(4),(7)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\overset{?}{\subseteq} \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\times\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}\ldots (8)$


$$(1),(8)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}.$$

Not : Son "?" işaretinin gerekçesi yorumdaki linkte mevcut. Diğer "?" işaretlerinin olduğu yerlerde de yine kafa yorulmasının faydalı olacağını düşünüyorum.

(11.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,319 soru
21,877 cevap
73,598 yorum
2,911,496 kullanıcı