Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
421 kez görüntülendi

$(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar olmak üzere

$$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}$$ olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 421 kez görüntülendi

Bu linkteki bilgiden faydalanabilirsiniz.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\left.\begin{array}{ccc} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A^{\circ}\subseteq A)(B^{\circ}\subseteq B)\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow (A^{\circ}\times B^{\circ})^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}\\ \\ (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow (A^{\circ}\in\tau_1)(B^{\circ}\in\tau_2)\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\Rightarrow (A^{\circ}\times B^{\circ})^{\circ} =A^{\circ}\times B^{\circ} \end{array}\right\}\Rightarrow A^{\circ}\times B^{\circ}\subseteq (A\times B)^{\circ}\ldots (1)$


$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\\ \\ \pi_1:X\times Y\to X, \pi_1(x,y)=x \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_1) \text{ açık}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\in\tau_1\Rightarrow\left(\pi_1[(A\times B)^{\circ}]\right)^{\circ}=\pi_1[(A\times B)^{\circ}]\ldots (2)$

$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\subseteq \pi_1[A\times B]=A\Rightarrow (\pi_1[(A\times B)^{\circ}])^{\circ}\subseteq A^{\circ}\ldots (3)$

$(2),(3)\Rightarrow \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\subseteq  A^{\circ}\ldots (4)$


$\left.\begin{array}{rr} (A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\in\tau_1\star\tau_2\\ \\ \pi_2:X\times Y\to Y, \pi_2(x,y)=y \,\ (\tau_1\star\tau_2\mbox{ - }\tau_2) \text{ açık}\end{array}\right\}\overset{?}{\Rightarrow} \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\in\tau_2\Rightarrow\left(\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\right)^{\circ}=\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\ldots (5)$

$(A\subseteq X)(B\subseteq Y)\Rightarrow A\times B\subseteq X\times Y\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\subseteq A\times B\Rightarrow \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq \pi_2[A\times B]=B\Rightarrow (\pi_2[(A\times B)^{\circ}])^{\circ}\subseteq B^{\circ}\ldots (6)$

$(5),(6)\Rightarrow \pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq  B^{\circ}\ldots (7)$

$(4),(7)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}\overset{?}{\subseteq} \pi_1[(A\times B)^{\circ}]\times\pi_2[(A\times B)^{\circ}]\subseteq A^{\circ}\times B^{\circ}\ldots (8)$


$$(1),(8)\Rightarrow (A\times B)^{\circ}=A^{\circ}\times B^{\circ}.$$

Not : Son "?" işaretinin gerekçesi yorumdaki linkte mevcut. Diğer "?" işaretlerinin olduğu yerlerde de yine kafa yorulmasının faydalı olacağını düşünüyorum.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,887,996 kullanıcı