$\mathbb{R}$'yi nasıl tanımlıyorsunuz?
Benim bilmediğim 16-17 aksiyom.
https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_1.pdf sayfa 10'da belirtilen aksiyomlar.
Soruyu tam okumamışım. Reel sayıların tanımını bilmeye gerek yokmuş. Yakınsak dizi demek, limit var demek. Soru "her Cauchy dizisinin limiti vardır" olmalı galiba. Bu da son aksiyomdan gösterilebilir.
Yakınsak olup Cauchy dizisi olmayan diziler olabilir.Cauchy dizilerinin $R$'de limitinin varlığını göstermek yeterli midir?
yakınsak olup cauchy olmayan dizi yoktur. cauchy olup yakınsak olmayan dizi olabilir (reel sayılarda olamaz tabi)
O halde ''Reel sayılarda bir dizi yakınsaktır $<=>$ Cauchy dizisidir.'' önermesi doğru mudur? Kanıtı için uğraşacağım, teşekkürler.
yakınsak dizilerin Caucy dizisi olduğunu göstermek zaten kolay. Cauchy demek, dizinin bir yerden sonraki bütün elemanları birbirine yakın demek. Yakınsak da, bir yerden sonra dizinin bütün elemanları belli bir elemana yakın demek. Aynı elemana çok yakın olan elemanlar birbirine de çok yakın olduğu için yakınsak $\Rightarrow$ Cauchy. Öbür taraf da senin sormak istediğin soru.
Yorumlarda epey ipucu var. Soruda istenen ispat şöyle yapılabilir:
Dizinin, Cauchy oluşundan sınırlı olduğunu gösterip, Bolzano-Weierstrass teoremi ile yakınsak bir alt dizi bulup, daha sonra tüm dizinin bu limite yakınsayacağı göstererilebilir.