Her $x\in \mathbb{R}$ için $m\leq x<m+1$ olacak biçimde $m\in \mathbb{Z}$ vardır. Alternatif ispat?

Question

Teorem: Her $x\in \mathbb{R}$ için $m\leq x<m+1$ olacak biçimde $m\in \mathbb{Z}$ vardır.

Bu teoremin standart ispatında reel sayıların supremum özelliği kullanılıyor. Benim sorum şu: Alternatif bir ispat bulmaya çalıştım, yöntemimin yanlış olduğunu tespit ettim. Ama nerede hata yaptığımı bulamıyorum. Şöyle ki teoremin ifadesinin değilini alıp yanlış olduğunu göstermeye çalışıyorum.

Yani $\exists x_0 \in \mathbb{R}$ öyle ki $\forall m\in \mathbb{Z}$ için

$$x_0<m \qquad\text{veya}\qquad m+1\leq x_0$$

dır. Her $m\in\mathbb{Z}$ için $x_0<m$ olması $\mathbb{Z}$ nin sınırsız olması ile çelişir, çünkü $x_0$ ile alttan sınırlı demektir bu ifade. Yine her $m\in\mathbb{Z}$ için $m+1\leq x_0$ olması da $\mathbb{Z}$ nin $x_0-1$ ile üstten sınırlı olması demek olup yine yanlıştır. Sonuç olarak bu ifade yanlış olup teoremin ifadesi olan önerme doğrudur. Şimdi yanlışım nerede?

Teşekkürler şimdiden.

Comments

$x_0<m$ veya $m+1\leq x_0$ önermelerinden her $m$ için aynı önerme doğru olmak zorunda değil. 

Bazan birincisi, bazan ikincisi doğru olabilir.

---

  Her ikisi de yanlıştır şeklinde buldum. Acaba önermenin değilini mi yanlış aldım? Biraz daha açar mısınız?

---

Bir örnek vereyim.

Her $x\in\mathbb{R}$ için ($x<0$ veya $x\geq0$)

ile

(Her $x\in\mathbb{R}$ için $x<0$) veya (Her $x\in\mathbb{R}$ için$x\geq0$)

önermeleri eşdeğer değil.

---

Şimdi anlaşıldı, değilini yanlış almışım yani. Teşekkür ederim hocam

---

Doğan hocamın yanıtına ilave olarak şunları ekleyeyim:

$$p(x): ``x, \text{ tektir}"$$ ve $$q(x): ``x, \text{ çifttir}"$$ açık önermelerini ele alalım. Bu açık önermelerin konu evreni $\mathbb{N}$ doğal sayılar kümesi olsun. Şimdi şu iki önermeye göz atalım.

$$\forall x (p(x)\vee q(x))\ldots (1)$$ ve $$\forall x p(x) \vee \forall x q(x)\ldots (2).$$ $(1)$ nolu önerme doğru olmasına karşın $(2)$ nolu önerme doğru değildir. Ayrıca $(2)$ nolu önermenin doğru olması, $(1)$ nolu önermenin de doğru olmasını gerektirir. Yani 

$$(\forall x p(x) \vee \forall x q(x)) \Rightarrow \forall x (p(x)\vee q(x))$$ fakat karşıtı her zaman doğru değildir. Yukarıda gerek Doğan hocanın gerekse de benim verdiğim örneklerde olduğu gibi. Dolayısıyla

$$(\forall x p(x) \vee \forall x q(x))\not\equiv \forall x (p(x)\vee q(x)).$$

---

Bu örnek daha da anlaşılır oldu. Teşekkür ederim hocam.

Answer 1

Her $x\in\mathbb{R}$ sayısı için $$m:=\min \{k|(x<k)(k\in\mathbb{Z})\}-1$$ seçilirse $$m\leq x<m+1$$ koşulu sağlanır. $$\{k|(x<k)(k\in\mathbb{Z})\}\subseteq\mathbb{Z}$$ kümesi tamsayılar kümesinin alttan sınırlı bir altkümesidir. Tamsayılar kümesinin de alttan sınırlı her altkümesinin minimumu vardır (Neden?).

Comments

iyi sıralama ilkesi

---

Evet. Aynen dediğin gibi.