$[a,b]$ kapali araligindan $\mathbb{R}$'ye giden her surekli fonksiyonun sinirli oldugunu gosteriniz.
her fonksiyon sinirliyse biraz suçu kendimizde aramalıyız bence.
Heine-Borel teoremi gereği [a,b] aralığı tıkızdır, dolayısıyla sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü de tıkızdır. Öte yandan $\mathbb{R}$'nin tıkız her alt kümesi sınırlıdır (ve kapalıdır).