$\mathbb{R}$'ye giden her fonksiyonu sürekli yapan topoloji

Question

Eğer her $f:X\to \mathbb{R}$ fonksiyonu sürekli ise, $X$ üzerindeki topoloji ayrık (discrete) topolojidir.

---

Not: Buradaki süreklilik ifadesini (sorudan anlaşılacağı üzere) topolojik olarak düşünüyoruz. $\mathbb{R}$ üzerindeki topoloji de sıradan (usual) topoloji.

Answer 1

Her $w \in X$ için $\chi_{\{w\}}(x)$ karakteristik fonksiyonu varsayım gereği sürekli olduğuna göre $$\chi_{\{w\}}^{-1}[(1/2,3/2)]=\{w\}$$ kümesi açıktır. Her nokta açık olduğuna göre $X$ üzerindeki topoloji ayrıktır.