Dirichlet fonksiyonunu sürekli yapan topoloji?

Question

Yada daha genel olarak

"$f:X \to Y_{final}$ ve $g:Y_{init}\to X$ bir fonksiyon ise ve $X$ in topolojisini biliyorsam,

$Y_{final}$ ve $Y_{init}$ uzerine hangi topolojiler $f$i ve $g$ yi surekli yapar ?",

sorusunun cevabini nasil bulurum ?

Comments

@eloi iki kere yanıt yazdım. Her defasında web sayfasını yenileme tuşuna bastığım için yazdıklarım gitti. Şimdi üçüncü kez yazamayacağım. Yarın yazarım artık.

---

1) $X$ üzerindeki topoloji $\tau$ olsun. $f$ fonksiyonunu sürekli yapmak istiyorsan $Y$ kümesi üzerinde diskret topolojiyi aldığında istediğin olur. Ama ben diskret topolojiden daha küçük bir topoloji arıyorum dersen hatta $f$ fonksiyonunu sürekli kılacak $Y$ kümesi üzerindeki en küçük topolojiyi arıyorum dersen o zaman $Y$ kümesi üzerinde bölüm topolojisini yani $\sigma:=\{A\subseteq Y|f^{-1}[A]\in\tau\}$ topolojisini alırsın.

 

2) $g$ fonksiyonunu sürekli kılmak için de $Y$ kümesi üzerinde indiskret topolojiyi alabilirsin. Ama ben $g$ fonksiyonunu sürekli kılacak $Y$ kümesi üzerindeki en büyük topolojiyi almak istiyorum dersen o zaman da $\sigma:=\{f^{-1}[A]|A\in\tau\}$ topolojisini alırsın.

---

Iyi dediniz guzel dediniz de hocam bunlar neden topoloji goremiyorum ben. Biraz daha bakayim

---

Söz konusu ailelerin neden topoloji olduğunun yanıtları sitede mevcut. 

1) için şu linke bakabilirsin. 

https://matkafasi.com/108323/topolojik-subseteq-ailesinin-uzerinde-oldugunu-gosteriniz?show=108323#q108323

2) için de şu linke bakabilirsin.

https://matkafasi.com/132824/topolojik-xailesi-kumesiuzerinde-yanitinizi-kanitlayiniz?show=132824#q132824