Bir alt kümenin karakteristik fonksiyonunun sürekli olması için bir kriter bulunuz.

Question

 $(X,\tau)$ bir topolojk uzay, $A\subseteqq X$ olsun.

EK: $\chi_A:X\to Y=\{0,1\}$

$\chi_A(x)=\begin{cases} 1, & x\in A\\0, &x\notin A\end{cases}$ fonksiyonuna, $A$ kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.

$Y=\{0,1\}$ kümesi üzerinde  4 farklı topoloji vardır:

$\tau_1=\{\varnothing,Y\},\ \tau_2=\{\varnothing,\{0\},Y\},\ \tau_3=\{\varnothing,\{1\},Y\},\ \tau_4=\{\varnothing,\{0\},\{1\},Y\}$

Aşağıdaki, noktalar yerine (çift gerektirme doğru olacak şekilde)  hangi (hepsi farklı ve kısa) ifadenin eklenmesi gerektiğini bulunuz.

$$Y\text{ üzerinde }\tau_1\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}$$

$$Y\text{ üzerinde }\tau_2\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}$$

$$Y\text{ üzerinde }\tau_3\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}$$

$$Y\text{ üzerinde }\tau_4\text{ topolojisi için: }\quad\chi_A \text{  süreklidir} \Leftrightarrow\ A\cdots\cdots\text{dir}$$

Comments

Varis kumemde hangi topoloji var hocam ?

---

$\tau_4$ topolojisi ayrik topoloji oldugu icin ve ayrik topolojiden cikan her fonksiyon surekli oldugu icin son durumda. $A$ nin ne oldugu farketmemeli.

$\tau_1$ topolojisinde surekli fonksiyonlarin on goruntusu bos kume zada tum uzay olmali. Sanirim buradan $A$ nin tum uzay yada bos kume oldugu cikiyor gibime geldi.

aradaki iki uzay icin ise sanirim $\{0\} \in A$ ve $\{1\} \in A $ sartlari gerekiyor.

Cevaplarimdan emin degilim ama sanirim karakteristik fonksiyonun surekliliginin, topolojik sinirla (boundry nin cevirisi bu mu ?) alakasi var.

---

$\chi_A:X\to Y$ yazmayı unutmuşum, ama tahmin edilebiiyor herhalde.

@eloi:

$\tau_1$ ve $\tau_4$  için tahminini yeniden düşün. Verilen topoloji, HEDEF uzayın topolojisi.

$\{0\}\in A$ ve $\{1\}\in A$ anlamlı değil.

(Öyle de yapılabilir ama) Sınır kümesini düşünmeye gerek yok,  daha basit düşün.

---

Hmm evet Y varis kumesiymis. Soyle seyler yaptim

ilk basta butun olasi $A$ lari ve karakteristik fonksiyonlari yazdim

 

$ A_0 = \{\}  , f_{A_0}= \begin{bmatrix}0\to0\\1\to0 \end{bmatrix}  $

$A_1 = \{0\} . f_{A_1} = \begin{bmatrix}0\to1\\1\to0\end{bmatrix}$

$A_2 = \{1\} , f_{A_2} = \begin{bmatrix} 0 \to 0 \\ 1 \to 1 \end{bmatrix}$

$A_3=\{0,1\} ,f_{A_3} = \begin{bmatrix} 0\to 1 \\ 1 \to 1\end{bmatrix}$

 

$f_{A_0}$ goruntu kumesinin $0$ dan olustugunu goruyoruz. eger goruntu kumemiz uzerindeki topolojide $\{0\}$ acik bir kumeyse, f_\{A_0\} surekli olacak. $\tau_2$ icin bu gecerli

benzer bir mantikla $f_{A_3}$ fonksiyonunun goruntu kumesi uzerinde $\tau_3$ topolojisi olursa surekli oldugunu goruruz.

  Ben soruyu cok yanlis anlamisim

Answer 1

I. DURUM: $\tau_1=\{\emptyset,Y\}$ olsun.

$$\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases}$$ kuralı ile verilen $$\chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_1)$$ fonksiyonunun sürekli olması için $$(\forall T\in\tau_1)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau)$$ yani $$\chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau$$ ve  $$\chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau$$ olmalıdır. Dolayısıyla $\chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_1)$ sürekli olması için gerek ve yeter koşul $A\subseteq X$ olmasıdır.

 

 

II. DURUM: $\tau_2=\{\emptyset,Y,\{0\}\}$ olsun.

$$\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases}$$ kuralı ile verilen $$\chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_2)$$ fonksiyonunun sürekli olması için $$(\forall T\in\tau_2)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau)$$ yani $$\chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau$$ ve  $$\chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau$$ ve $$\chi_A^{-1}[\{0\}]=\setminus A\in\tau$$ olmalıdır. Dolayısıyla $\chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_2)$ sürekli olması için gerek ve yeter koşul $A\in\mathcal{C}(X,\tau)$ yani $A$ kümesinin kapalı olmasıdır.

 

 

III. DURUM: $\tau_3=\{\emptyset,Y,\{1\}\}$ olsun.

$$\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases}$$ kuralı ile verilen $$\chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_3)$$ fonksiyonunun sürekli olması için $$(\forall T\in\tau_3)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau)$$ yani $$\chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau$$ ve  $$\chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau$$ ve $$\chi_A^{-1}[\{1\}]=A\in\tau$$ olmalıdır. Dolayısıyla $\chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_3)$ sürekli olması için gerek ve yeter koşul $A\in\tau$ yani $A$ kümesinin açık olmasıdır.

 

 

IV. DURUM: $\tau_4=\{\emptyset,Y,\{0\},\{1\}\}$ olsun.

$$\chi_A(x)=\begin{cases} 1 & , & x\in A \\ \\ 0 & , & x\notin A\end{cases}$$ kuralı ile verilen $$\chi_A:(X,\tau)\to (Y,\tau_4)$$ fonksiyonunun sürekli olması için $$(\forall T\in\tau_4)(\chi_A^{-1}[T]\in\tau)$$ yani $$\chi_A^{-1}[\emptyset]=\emptyset\in\tau$$ ve  $$\chi_A^{-1}[Y]=X\in\tau$$ ve $$\chi_A^{-1}[\{0\}]=\setminus A\in\tau$$ ve $$\chi_A^{-1}[\{1\}]=A\in\tau$$ olmalıdır. Dolayısıyla $\chi_A, \ (\tau\text{-}\tau_4)$ sürekli olması için gerek ve yeter koşul $A\in\tau\cap \mathcal{C}(X,\tau)$ yani hem açık hem de kapalı olmasıdır.