I. DURUM: τ1={∅,Y} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A kuralı ile verilen χA:(X,τ)→(Y,τ1) fonksiyonunun sürekli olması için (∀T∈τ1)(χ−1A[T]∈τ) yani χ−1A[∅]=∅∈τ ve χ−1A[Y]=X∈τ olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ1) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A⊆X olmasıdır.
II. DURUM: τ2={∅,Y,{0}} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A kuralı ile verilen χA:(X,τ)→(Y,τ2) fonksiyonunun sürekli olması için (∀T∈τ2)(χ−1A[T]∈τ) yani χ−1A[∅]=∅∈τ ve χ−1A[Y]=X∈τ ve χ−1A[{0}]=∖A∈τ olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ2) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A∈C(X,τ) yani A kümesinin kapalı olmasıdır.
III. DURUM: τ3={∅,Y,{1}} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A kuralı ile verilen χA:(X,τ)→(Y,τ3) fonksiyonunun sürekli olması için (∀T∈τ3)(χ−1A[T]∈τ) yani χ−1A[∅]=∅∈τ ve χ−1A[Y]=X∈τ ve χ−1A[{1}]=A∈τ olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ3) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A∈τ yani A kümesinin açık olmasıdır.
IV. DURUM: τ4={∅,Y,{0},{1}} olsun.
χA(x)={1,x∈A0,x∉A kuralı ile verilen χA:(X,τ)→(Y,τ4) fonksiyonunun sürekli olması için (∀T∈τ4)(χ−1A[T]∈τ) yani χ−1A[∅]=∅∈τ ve χ−1A[Y]=X∈τ ve χ−1A[{0}]=∖A∈τ ve χ−1A[{1}]=A∈τ olmalıdır. Dolayısıyla χA, (τ-τ4) sürekli olması için gerek ve yeter koşul A∈τ∩C(X,τ) yani hem açık hem de kapalı olmasıdır.