Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi
$(X,\tau),\ (Y,\tau')$ iki topolojik uzay, $f:X\to Y$ bir fonksiyon olsun.

$A=\{x\in X:f,\ x\text{'de süreksiz}\}\subseteq X$ olsun.

$($Eğer $A\neq X$ ise, $X\setminus A$ de alt uzay topolojisi alalım) $f\mid_{X\setminus A}:X\setminus A\to Y$ (kısıtlanmış fonksiyon) sürekli olur mu?
bir cevap ile ilgili: Süreklilik Üzerine-II
Lisans Matematik kategorisinde (6.1k puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi
Ben de "kendini bu kadar iyi ifade eden biri nasıl olur da bunun cevabını bilemez" diye kendi kendime soruyordum. Meğer soruyu Doğan Hocamız sormuş...
Karisiklik olmamasi icin $f:X\to Y$ ve $\hat{f} : X\setminus A \to Y$ seklinde orjinal ve kisitlanmis fonksiyon arasinda ayrim yapmak istedim.

$X\setminus A$ uzerindeki topoloji $\tau_{X\setminus A} = \{U\cap(X\setminus A) : U \in \tau\}$ seklinde veriliyor yanilmiyorsam. $Y$ uzayindaki her acik kumenin ongoruntusunun acik olmasini istiyoruz ki $\hat{f}$ surekli olsun.

 

2. Duzeltme sonrasi](

$x \in X$ icin  $f$ $x$de sureksiz ise, $\hat{f}^{-1}(f(x))$ bos kume olacak yani acik kume.

Yok eger $f$ $x$ de surekli ise $f(x)$ e eleman olarak sahip olan her acik kume $V$ icin $\tau$ da oyle bir $U$ kumesi var ki $x \in U$ ve $U \subseteq f^{-1}(V)$.

$x$ $f$ te surekli oldugu icin $x \in X\setminus A$. Yukarida verilen her $U$ nun $X\setminus A$ ile kesisimi alt kume topolojisinde olacak. Her acik kumenin ongoruntusu acik kume oldugu icin onerme dogrudur.
)

 

[1. Duzeltme sonrasi](

$x \in X$ icin  $f$ $x$de sureksiz ise, $\hat{f}$ in ongoruntusu bos kume olacak yani acik kume.

Yok eger $f$ $x$ de surekli ise $f$ in ongoruntusu $\tau$ nun elemani (oyle mi gercekten?) dolayisiyla $\tau_{X\setminus A}$ nin da elemani.
)

[Orjinal]

(

$y \in Y$ icin  $f$ $y$de sureksiz ise, $\hat{f}$ in ongoruntusu bos kume olacak yani acik kume.

Yok eger $f$ $y$ de surekli ise $f$ in ongoruntusu $\tau$ nun elemani (oyle mi gercekten?) dolayisiyla $\tau_{X\setminus A}$ nin da elemani.
)
Gibi bir sekilde akil yuruttum dogru mu acaba?
"$y\in Y$ icin  $f,\ y$ de sureksiz ise" pek anlamlı değil.

"$x\in X\setminus A$ olsun" şeklinde başlayablirsin.
Ah evet tesekkurler. Duzeltiyorum simdi

"$f$ nin ongoruntusu"  hangi kümenin öngörüntüsü?

Cok Tesekkurler hocam yeniden degistirdim.
"$f,\ x$ de sureksiz ise, $f^{-1}(f(x))$ bos kume olacak "

Bundan emin misin?
Emin degilim. O yuzden stratejimi degistiriyorum. Bir fonksiyon her noktada surekli ise o fonksiyon sureklidir. yanlis kanitimin yarisinda her $x \in X \setminus A$ icin f in surekli oldugunu gosterdigimi dusunuyorum.
uyuyup salim kafayla yeniden bakayim ben buna bence :)
"$\tau$ nun elemani (oyle mi gercekten?) dolayisiyla $\tau_{X∖A}$ nin da elemani. "

$\tau\subseteqq \tau_{X∖A}$ mi?
hayir degil . $f^{-1}(x) \in\tau $ ve bundan dolayi $f^{-1}(x)\cap(X\setminus A) \in \tau_{X\setminus A}$ demek istemistim. Ama boyle olsa bile oncesinde noktadaki surekliligin tanimina verdigim sey yanlis, sonraki duzeltmemde noktasal surekliligin tanimina bakip degistirdim.

Siz hep tek noktanın ters görüntüsünü bulmaya çalışıyorsunuz.

Sürekllikte açık kümelerin ters görüntüsü önemlidir.

Bu O soruda, $\mathbb{Z}$ nin topolojisi ayrık topoloji olduğu (ve ayrık topolojide tek nokta kümeler bir baz olduğu) için, tek noktanın ters görüntüsü incelendi.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
$a\in X\setminus A$  ve  $V\in\mathcal{U}(f(a))=\mathcal{U}(f|_{X\setminus A}(a))$  yani  $V$  kümesi,  $f|_{X\setminus A}(a)=f(a)$  noktasının bir açık komşuluğu olsun.

$\left.\begin{array}{rr}a\in X\setminus A\Rightarrow f, \ a\text{'da sürekli}  \\ \\ V\in\mathcal{U}(f(a))=\mathcal{U}(f|_{X\setminus A}(a)) \end{array}\right\}\Rightarrow \begin{array}{c}\mbox{} \\ \mbox{} \\ \left.\begin{array}{rr} (\exists U\in\mathcal{U}(a))(f[U]\subseteq V)\\ \\ a\in X\setminus A\end{array}\right\}\Rightarrow \end{array}$

 
$\left.\begin{array}{rr}\Rightarrow (U\cap (X\setminus A)\in \mathcal{U}_{X\setminus A}(a))(f[U]\subseteq V) \\ \\  T:=U\cap (X\setminus A)\end{array}\right\}\Rightarrow$

 
$\Rightarrow (T\in\mathcal{U}_{X\setminus A}(a))(f|_{X\setminus A}[T]\subseteq f[U]\subseteq V).$
 

O halde $f|_{X\setminus A}$ fonksiyonu $a$ noktasında süreklidir. $a$ noktasını keyfi seçtiğimize göre $f_{X\setminus A}$ fonksiyonu $X\setminus A$ kümesindeki her noktada süreklidir. Dolayısıyla $f|_{X\setminus A}$ fonksiyonu süreklidir.
(11.4k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
Bu ispatı 2 teorem kullanarak şöyle kısaltabiliriz:

İçerme dönüşümü $\imath:X\setminus A\to X,\quad (\imath(x)=x)$ (alt uzay topolojisi kullandığımız için) süreklidir.

$\forall x\in X\setminus A$ için $\imath,\ x$ de süreklidir (sürekliliğin eşdeğer şekli. Genellikle, topoloji derslerinde teorem olarak ispatlanır.)

$\forall x\in X\setminus A$ için $f,\ x=\imath(x)$ de süreklidir.

$\forall x\in X\setminus A$ için, bileşke $f\circ \imath=f\mid_{X\setminus A},\ x$ de süreklidir. (Genellikle, topoloji derslerinde teorem olarak ispatlanır.)

$f\mid_{X\setminus A}$  süreklidir (sürekliliğin eşdeğer şekli).
Hocam $\iota$, $i$ ve $f$ ne? benim kafam karisti

İkisi aynı (ben yukarıda düzelttim). EK: $f$, verilen ($f:X\to Y$ herhangi bir) fonksiyon

Orada da yazdığım gibi $\forall x\in X\setminus A$ için $\imath(x)=x$

$\imath$ :içerme=inclusion

20,200 soru
21,726 cevap
73,275 yorum
1,887,826 kullanıcı