Question

$(X,\tau)$ bir topolojik uzay, $(A, {\tau}_A)$ alt uzayı olsun. Alt uzayda açık olan her kümenin üst uzayda da açık olması için gerekli ve yeterli koşul $A$'nın üst uzayda açık olmasıdır. Gösteriniz.

Comments

Bir yön için ipucu: $A$ yı düşün.

Answer 1

Teoremi formel olarak 

$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\emptyset\neq A\subseteq X$ olmak üzere

$$A\in\tau\Leftrightarrow\tau_A\subseteq\tau$$

şeklinde ifade edebiliriz.

Gerek kısmı: $A\in\tau$ ve $B\in\tau_A$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} B\in\tau_A\Rightarrow (\exists T\in\tau)(B=T\cap A) \\ A\in\tau\end{array}\right\}\Rightarrow B\in\tau\Big{/}\tau_A\subseteq \tau.$

Yeter kısmı: $\tau_A\subseteq\tau$ olsun. ($A\in\tau$ olduğunu göstereceğiz.)

$\left.\begin{array}{rr} (X,\tau) \text{ topolojik uzay}\Rightarrow \tau, X\text{'de topoloji} \\ \emptyset\neq A\subseteq X\end{array}\right\}\Rightarrow A=A\cap X\in \tau_A\subseteq \tau\Rightarrow A\in\tau.$

Comments

Daha önce bir yönün ispatını yanlış yapmışım. Cevabı tekrar düzenledim. Tekrar incelemeni tavsiye ederim.