Olur tabii, çok güzel. Yalnız büyük F harfini başka bir şey için kullanıyorsun soruda. Dikkat edersen $F( ... )$ notasyonu $ ... $ kümesinden reel sayılara giden fonksiyonların uzayı olarak kullanılıyor soruda. O yüzden büyük $F$ yerine küçük $f$ kullanalım fonksiyonlar için.
Burada şu an en önemli nokta şu: Senden bir fonksiyon yazmanı istedim. Sen bana iki tane reel sayı verdin. Yani $F(S)$ kümesinden $\mathbb{R}^2$ kümesine giden bir gönderim var. Bu gönderimi $J$ harfiyle gösterelim:
$$J : F(S) \to \mathbb{R}^2 \qquad , \qquad f \mapsto \begin{bmatrix} f(a) \\ f(b) \end{bmatrix}$$
Senin verdiğin fonksiyon örneği için mesela
$$J(f) = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$
oluyor.
Şimdi üç soru soracağım. Bunları evet ya da hayır olarak cevaplamanı isteyeceğim.
1) Eğer senden birbirinden farklı iki fonksiyon söylemeni isteseydim, sen bana birbirinden farklı iki sayı çifti verecektin. Di mi? (Yani $J$ birebir bir gönderim).
2) Her reel sayı çifti bir fonksiyon belirtiyor. Yani ben sana $48$ ve $30$ sayılarını versem, sen bana $f(a) = 48$ ve $f(b) = 30$ olsun diyerek bir fonksiyon verebiliyorsun mesela. Doğru mu? (Yani $J$ örten).
3) Demek ki $J$ birebir ve örten, doğru mu?
Demek ki neymiş:
$F(S)$ kümesinin elemanlarını $\mathbb{R}^2$ ile eşleyebiliyormuşum.
$$ f \leftrightarrow \begin{bmatrix} f(a) \\ f(b) \end{bmatrix} $$
Şu ana kadar her şey kümeler düzeyinde. Henüz bir cebirsel yapı katmadık işin içine. Ben sorularla devam edeyim:
Senin verdiğin fonksiyon örneği(ne karşılık gelen sayı çifti)
$$ J(f) = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$
idi. Ben de sana başka bir fonksiyon (sayı çifti) vereyim.
$$ J(g) = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$$
Bana $2f$ ve $f+g$ fonksiyonlarının kurallarını yazabilir misin? Yani $2f$ fonksiyonu $a$'yı nereye, $b$'yi nereye götürüyor? Peki $f+g$? Daha derli toplu olmak gerekirse: $J(2f)$ ve $J(f+g)$ nedir?
Bu soruları cevaplayabilirsen buradan devam edelim.