(X,£) bir topolojik uzay, (A,£æ) alt uzayı olsun. Alt uzayda açık olan her kümenin üst uzayda da açık olması için gerekli ve yeterli koşul A'nın üst uzayda açık olmasıdır. Gösteriniz.

Question

 A üst uzayda açık olsun. D∈ £æ alalım.⇒ D=A∩T , T∈£ yazılır. O halde , A ve T açık küme olduğundan D üst uzayda açık olur.

Tersine, D∈£æ⇒ D∈£ alalım. A üst uzayda açık mıdır?

Answer 1

Teorem: $(X,\tau)$ topolojik uzay, $\emptyset\neq Y\subseteq X$ ve $A\subseteq Y$ olmak üzere

$$A\in\tau_Y\Leftrightarrow A\in\tau$$

İspat: Önce gerek kısmını ispatlayalım. $A\in\tau_Y$ olsun.

$$\left. \begin{array}{r} A\in\tau_Y\Rightarrow (\exists T\in\tau)(A=Y\cap T) \\ Y\in\tau \end{array}\right\}\Rightarrow A\in\tau.$$

Şimdi de yeter kısmı ispatlayalım. $A\in\tau$ olsun.

$$(A\subseteq Y)(A\in\tau)\Rightarrow A=A\cap Y\in\tau_Y.$$