\def\CC{\mathbb{C}} \def\RR{\mathbb{R}}
f: \CC \to \CC fonksiyonu f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) kurali ile tanimlanmis olsun. v(x,y) = 0 oldugunu, yani f'nin goruntusunun tamamen reel oldugunu dusunelim. Cauchy-Riemann denklemlerini inceledigimizde u_x = v_y ve u_y = - v_x olmasi gerektiginden u_x = u_y =0 olmasi gerektigini goruyoruz. Bu da u'nun sabit olmasi gerektigini soyluyor (neden?). Ama hem u, hem de v sabit ise, f de sabit demektir. Sunu gostermis olduk: Eger f, goruntusu tamamen reel olan kompleks-turevlenebilir bir fonksiyon ise, f sabit olmak zorundadir. Ote yandan, butun sabit fonksiyonlarin kompleks-turevlenebilir oldugunu biliyoruz.
Simdi bu fonksiyonu f(x,y) = (u(x,y), v(x,y)) kurali ile tanimlanan f: \RR^2 \to \RR^2 olarak gorelim. Yine, v(x,y) = 0 olsun. Bu durumda u(x,y) turevlenebilir ise, f de turevlenebilirdir. Ornegin, f(x,y) = (x,0) fonksiyonu reel-turevlenebilirdir. Ama yukarida acikladigimiz sebepten dolayi, f(x + iy) = x fonksiyonu kompleks-turevlenebilir degildir.
Ben bunu ilk gordugumde "vay" demistim. Ama kompleks-turevlenebilme gercekten cok guclu bir sey. Picard'in bir teoremi sunu soyluyor:
Eger f: \CC \to \CC fonksiyonu sabit olmayan kompleks-turevlenebilir fonksiyon ise f ya orten olmak zorundadir, ya da f'nin goruntusunde olmayan en fazla 1 eleman vardir. (f'nin goruntu kumesinde olmayan iki farkli eleman varsa f turevlenebilir degildir.)
Bunu gorunce de "vay vay vay" dedim.
*Burada turevlenebilmeyi, her noktada turevlenebilme olarak dusunuyorum. Ama verdigim f(x,y) = (x,0) ornegi noktasal turevlenebilmeye de karsi ornek (dogal olarak).