Processing math: 6%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
777 kez görüntülendi


Akademik Matematik kategorisinde (20 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 777 kez görüntülendi

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme

\def\CC{\mathbb{C}} \def\RR{\mathbb{R}}

f: \CC \to \CC  fonksiyonu f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) kurali ile tanimlanmis olsun. v(x,y) = 0 oldugunu, yani f'nin goruntusunun tamamen reel oldugunu dusunelim. Cauchy-Riemann denklemlerini inceledigimizde u_x = v_y ve u_y = - v_x olmasi gerektiginden u_x = u_y =0 olmasi gerektigini goruyoruz. Bu da u'nun sabit olmasi gerektigini soyluyor (neden?). Ama hem u, hem de v sabit ise, f de sabit demektir. Sunu gostermis olduk: Eger f, goruntusu tamamen reel olan kompleks-turevlenebilir bir fonksiyon ise, f sabit olmak zorundadir. Ote yandan, butun sabit fonksiyonlarin kompleks-turevlenebilir oldugunu biliyoruz.

Simdi bu fonksiyonu f(x,y) = (u(x,y), v(x,y)) kurali ile tanimlanan f: \RR^2 \to \RR^2 olarak gorelim. Yine, v(x,y) = 0 olsun. Bu durumda u(x,y) turevlenebilir ise, f de turevlenebilirdir. Ornegin, f(x,y) = (x,0) fonksiyonu reel-turevlenebilirdir. Ama yukarida acikladigimiz sebepten dolayi, f(x + iy) = x fonksiyonu kompleks-turevlenebilir degildir.

Ben bunu ilk gordugumde "vay" demistim. Ama kompleks-turevlenebilme gercekten cok guclu bir sey. Picard'in bir teoremi sunu soyluyor: 

Eger f: \CC \to \CC fonksiyonu sabit olmayan kompleks-turevlenebilir fonksiyon ise f ya orten olmak zorundadir, ya da f'nin goruntusunde olmayan en fazla 1 eleman vardir. (f'nin goruntu kumesinde olmayan iki farkli eleman varsa f turevlenebilir degildir.)

Bunu gorunce de "vay vay vay" dedim.

 *Burada turevlenebilmeyi, her noktada turevlenebilme olarak dusunuyorum. Ama verdigim f(x,y) = (x,0) ornegi noktasal turevlenebilmeye de karsi ornek (dogal olarak).

(2.5k puan) tarafından 

Benim de hoşuma gitti.

20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,100,117 kullanıcı