Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.1k kez görüntülendi
$(a_n)_n$, her terimi reel sayı olan yakınsak bir dizi olsun $\lim(a_n)_n\in \mathbb{R}$ olduğunu kanıtlayın.
Akademik Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.1k kez görüntülendi
Bolzano -Wierstrass teoremi iş görür sanırım 

$\mathbb{R}$'yi nasıl tanımlıyorsunuz?

$R$yi sanırım herkesin bildiği 16(sayısını tam hatırlamıyorum 17 de olabilir.) Aksiyomu sağlayan biricik küme olarak tanimlayalim.

Benim bilmediğim 16-17 aksiyom.

Soruyu tam okumamışım. Reel sayıların tanımını bilmeye gerek yokmuş. Yakınsak dizi demek, limit var demek. Soru "her Cauchy dizisinin limiti vardır" olmalı galiba. Bu da son aksiyomdan gösterilebilir.

Yakınsak olup Cauchy dizisi olmayan diziler olabilir.Cauchy dizilerinin $R$'de limitinin varlığını göstermek yeterli midir?

yakınsak olup cauchy olmayan dizi yoktur. cauchy olup yakınsak olmayan dizi olabilir (reel sayılarda olamaz tabi)

O halde ''Reel sayılarda bir dizi yakınsaktır $<=>$ Cauchy dizisidir.'' önermesi doğru mudur? Kanıtı için uğraşacağım, teşekkürler. 

yakınsak dizilerin Caucy dizisi olduğunu göstermek zaten kolay. Cauchy demek, dizinin bir yerden sonraki bütün elemanları birbirine yakın demek. Yakınsak da, bir yerden sonra dizinin bütün elemanları belli bir elemana yakın demek. Aynı elemana çok yakın olan elemanlar birbirine de çok yakın olduğu için yakınsak $\Rightarrow$ Cauchy. Öbür taraf da senin sormak istediğin soru.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Yorumlarda epey ipucu var. Soruda istenen ispat şöyle yapılabilir:

Dizinin, Cauchy oluşundan sınırlı olduğunu gösterip, Bolzano-Weierstrass teoremi ile yakınsak bir alt dizi bulup, daha sonra tüm dizinin bu limite yakınsayacağı göstererilebilir.

(6.2k puan) tarafından 
20,240 soru
21,759 cevap
73,407 yorum
2,079,205 kullanıcı