$I$ ve $J,\ \mathbb{R}$ de iki aralık ve $f:I\rightarrow J$ birebir, örten ve sürekli bir fonksiyon olsun. $f$ bir homeomorfizma (topolojik denklik) mıdır?

Question

http://matkafasi.com/6070/0-1-ve-0-1-kumelerinin-kardinallikleri sorusu ile ilgili.

Answer 1

1- Böyle bir fonksiyon monoton artan ya da azalan olmak zorundadır.

2- $f$ monoton artan/azalan ise $f^{-1}$ monoton azalan/artan olmak zorundadır.

3- Bir aralıkta monoton artan/azalan bir fonksiyon sürekli olmak zorundadır.

Yanıt: Evet $f$ topolojik bir denkliktir.

Comments

3 dogru mu?           

---

Değil.          

---

Görüntü kümesi bir aralıksa doğru ama.

---

zaten surekli oldugu verilmis. 

---

Ama $f$'nin sürekli olduğu verişmiş. Biz de 3'ten $f^{-1}$'in sürekli olduğu sonucunu çıkartıyoruz. Yani soruda verilen süreklilikten başka bir şey. üç genel olarak doğru değil ama bu durumda doğru.

---

3 ün doğru oluşu genellikle şöyle gösterilir:

Önce (aralıkta tanımlı olduğu varsayılıyor) monoton fonksiyonların sadece sıçrama tipi süreksizliği olabilir (sağ ve sol limitler inf ve sup ile bulunur). (Aralığın ucu dahil ise uçta bunu tahmin edilebilir bir şekilde değiştirmek gerekir)

Sıçrama tipi süreksizliği olanların görüntüsü aralık olamaz.

Öyleyse (bir aralıkta tanımlı) görüntüsü de bir aralık olan monoton fonksiyonlar süreklidir.