$\alpha,\beta\in\mathbb{R}, \ \alpha<\beta, \ I=[\alpha,\beta]$ ve $f:I\to\mathbb{R}$ türevlenebilir bir fonksiyon olsun. $$f, \ I\text{'da düzgün türevlenebilir}\Rightarrow f', \ I\text{'da sürekli}$$ olduğunu gösteriniz.

Question

Tanım: $\alpha,\beta\in\mathbb{R}, \ \alpha<\beta, \ I=[\alpha,\beta]$  ve  $f:I\to\mathbb{R}$ türevlenebilir bir fonksiyon olsun.

$$f, \ I\text{'da düzgün türevlenebilir}$$$$:\Leftrightarrow$$$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(x)\right|<\epsilon\right)$$

Answer 1

Her düzgün sürekli fonksiyon sürekli olduğundan $f'$ fonksiyonunun düzgün sürekli olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$\tiny{\left.\begin{array}{rcl}f, \ I\text{'da düzgün türevlenebilir}\Rightarrow(\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left[0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left(\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right|<\frac{\epsilon}{2}\right)\left(\left|\frac{f(a)-f(x)}{a-x}-f'(x)\right|<\frac{\epsilon}{2}\right)\right] \\ \\ |f'(x)-f'(a)|  =  \left|f'(x)-\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)+\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right|  \leq  \left|f'(x)-\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| +\left|f'(a)-\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right| \end{array}\right\}\Rightarrow}$

$\tiny{\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f'(x)-f'(a)|\leq\ldots <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\right)}$

$\tiny{\Rightarrow (\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(|x-a|<\delta\Rightarrow |f'(x)-f'(a)|\leq\ldots <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\right)}$

$\tiny{\Rightarrow f', \ I\text{'da düzgün sürekli}}$

$\tiny{\Rightarrow f', \ I\text{'da sürekli.}}$

Answer 2

$\alpha,\beta\in\mathbb{R}, \ \alpha<\beta, \ I:=[\alpha,\beta]$  ve  $$I\cap D(I)=[\alpha,\beta]\cap D([\alpha,\beta])=[\alpha,\beta]\cap [\alpha,\beta]=[\alpha,\beta]$$ olduğundan fonksiyonun tanım kümesinin her elemanı aynı zamanda fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktasıdır. Dolayısıyla şu linkte yer alan teorem gereği $f'$ fonksiyonunun $I$'da sürekli olması için gerek ve yeter koşul her $a\in I$ için $\lim\limits_{x\to a}f'(x)=f'(a)$ koşulunun sağlanmasıdır.

 O halde her $a\in I$ için $\lim\limits_{x\to a}f'(x)=f'(a)$ olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$\small{f', \ I\text{'da düzgün türevlenebilir}}$

$\Rightarrow$

$\small{(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right|<\epsilon\right)}$

$\Rightarrow$

$\small{(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \lim\limits_{x\to a} \left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right|<\lim\limits_{x\to a}\epsilon=\epsilon\right)}$

$\overset{|\cdot| \text{ sürekli}}{\Rightarrow}$

$\small{(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|\lim\limits_{x\to a}\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)\right)\right|<\epsilon\right)}$

$\overset{f \text{ türevlenebilir}}{\Rightarrow}$

$\small{(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|\underset{f'(x)}{\underbrace{\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}}-\underset{f'(a)}{\underbrace{\lim\limits_{x\to a}f'(a)}}\right|<\epsilon\right)}$

$\overset{f \text{ türevlenebilir}}{\Rightarrow}$

$\small{(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x,a\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|f'(x)-f'(a)\right|<\epsilon\right)}$

$\overset{?_1}{\Rightarrow}$

$\small{(\forall \epsilon>0)(\forall a\in I)(\exists\delta>0)(\forall x\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|f'(x)-f'(a)\right|<\epsilon\right)}$

$\overset{?_2}{\Rightarrow}$

$\small{(\forall a\in I)\underset{\lim\limits_{x\to a}f'(x)=f'(a)}{\underbrace{(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in I)\left(0<|x-a|<\delta\Rightarrow \left|f'(x)-f'(a)\right|<\epsilon\right)}}}$

$\Rightarrow$

$\small{(\forall a\in I)\left(\lim\limits_{x\to a}f'(x)=f'(a)\right)}$

$\Rightarrow$

$\small{f', \ I\text{'da sürekli.}}$