Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $A\subseteq\mathbb{R}^2$ ve $f:X\to A$ fonksiyon olsun. $$f, \text{  sürekli}\Leftrightarrow ({\pi_1}_{|_A}\circ f, \text{  sürekli}) ({\pi_2}_{|_A}\circ f, \text{ sürekli})$$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(\Rightarrow):$ $f: X\rightarrow A$ sürekli olsun. Amacımız ${\pi_1}_{|_A}\circ f$ ve ${\pi_1}_{|_A}\circ f$ fonksiyonlarının sürekli olduğunu göstermek.

Bu kısım kolay. Çünkü sürekli fonksiyonların kısıtlanışlarının sürekli ve sürekli fonksiyonların bileşkelerinin de sürekli olduğunu biliyoruz. Ya da aşağıdaki gibi formel bir kanıt verebiliriz.

$\left.\begin{array}{rr} (\pi_1:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \ \text{ sürekli})(\pi_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} \ \ \text{ sürekli}) \\ \\ A\subseteq \mathbb{R}^2 \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\left.\begin{array}{rr} \Rightarrow ({\pi_1}_{|_A}:A\to\mathbb{R} \ \text{ sürekli}) ({\pi_2}_{|_A}:A\to \mathbb{R} \ \text{ sürekli}) \\ \\ f:X\to A \ \text{ sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow ({\pi_1}_{|_A}\circ f, \text{ sürekli})({\pi_1}_{|_A}\circ f, \text{ sürekli}).$
 
 
$(\Leftarrow):$ ${\pi_1}_{|_A}\circ f$  ve  ${\pi_2}_{|_A}\circ f$ fonksiyonları sürekli olsun. Amacımız $f$  fonksiyonunun sürekli olduğunu göstermek.

$\mathbb{R}^2$'nin $A$ altuzayının bazsal açıklarının $f$ fonksiyonu altındaki ters görüntülerinin $(X,\tau)$ topolojik uzayında açık olduğunu gösterirsek kanıt biter.

$$\mathcal{B}=\{(a,b)\times (c,d)|(a<b)(c<d)(a,b,c,d\in\mathbb{R})\}$$ ailesinin $\mathbb{R}^2$ üzerindeki alışılmış (standart, Euclide) topolojisi için bir baz olduğunu biliyoruz. O halde  
$$\mathcal{B}_A:=\{A\cap ((a,b)\times (c,d))|a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$$ ailesi de $A$ kümesi üzerindeki altuzay topolojisi için bir baz olur. Şimdi bu bazın elemanlarının $f$ fonksiyonu altındaki ters görüntülerine bakalım.

$A\cap ((a,b)\times (c,d))\in\mathcal{B}_A$ olsun.

$$\begin{array}{rcl} f^{-1}[A\cap ((a,b) \times (c,d))] & = & f^{-1}[({\pi_1}_{|_A})^{-1}[(a,b)]\cap ({\pi_1}_{|_A})^{-1}[(c,d)]] \\ \\ & = & f^{-1}[({\pi_1}_{|_A})^{-1}[(a,b)]]\cap f^{-1}[({\pi_1}_{|_A})^{-1}[(c,d)]] \\ \\ & = & ({\pi_1}_{|_A}\circ f)^{-1}[(a,b)]\cap ({\pi_2}_{|_A}\circ f)^{-1}[(c,d)]\ldots (1) \end{array}$$

$\left.\begin{array}{rr} {\pi_1}_{|_A}\circ f:A\to \mathbb{R} \ \text{ sürekli}\Rightarrow ({\pi_1}_{|_A}\circ f)^{-1}[(a,b)]\in\tau  \\ \\ {\pi_2}_{|_A}\circ f:A\to \mathbb{R} \ \text{ sürekli} \Rightarrow ({\pi_1}_{|_A}\circ f)^{-1}[(a,b)]\in\tau \end{array}\right\}\Rightarrow$

 

$\Rightarrow ({\pi_1}_{|_A}\circ f)^{-1}[(a,b)]\cap ({\pi_2}_{|_A}\circ f)^{-1}[(a,b)]\in\tau \ldots (2)$

 

$(1),(2)\Rightarrow f^{-1}[A\cap ((a,b) \times (c,d))]\in \tau$
 

O halde $f$ fonksiyonu süreklidir.