Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
475 kez görüntülendi

(X,τ) herhangi bir topolojik uzay ve f,gRX olmak üzere (f, (τ-U) sürekli)(g, (τ-U) sürekli)f+g, (τ-U) sürekli

olduğunu gösteriniz.

 

Not:

U, R üzerindeki alışılmış (standart, öklid) topoloji.

Lisans Matematik kategorisinde (11.5k puan) tarafından  | 475 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Teorem: (X,τ),(Y,τ) topolojik uzaylar, fYX,  aX  ve  B(f(a)), f(a)'da yerel baz olsun.

f, a'da sürekli(VB(f(a)))(UU(a))(f[U]V).

 

Noktasal sürekliliğin yukarıda verilen karakterizasyonundan faydalanarak şöyle bir kanıt verebiliriz:

 

aX olsun. yR olmak üzere B(y)={(yϵ,y+ϵ)|ϵ>0}N(y)

ailesi, y'de bir yerel bazdır.

 

((f+g)(a)ϵ,(f+g)(a)+ϵ)B((f+g)(a)) verilmiş olsun.

 

V1B(f(a))(ϵ>0)(V1=(f(a)ϵ2,f(a)+ϵ2))f, a'da sürekli}

(U1U(a))(f[U1](f(a)ϵ2,f(a)+ϵ2))

(U1U(a))(U1f1[(f(a)ϵ2,f(a)+ϵ2))]

(U1U(a))(xU1)(xU1xf1[(f(a)ϵ2,f(a)+ϵ2))]

(U1U(a))(xU1)(f(x)f[U1]f(x)(f(a)ϵ2,f(a)+ϵ2))

(U1U(a))(xU1)(f(x)f[U1]|f(x)f(a)|<ϵ2)(1)

 

V2B(g(a))(ϵ>0)(V2=(g(a)ϵ2,g(a)+ϵ2))g, a'da sürekli}

(U2U(a))(g[U2](g(a)ϵ2,g(a)+ϵ2))

(U2U(a))(U2g1[(g(a)ϵ2,g(a)+ϵ2))]

(U2U(a))(xU2)(xU2xg1[(g(a)ϵ2,g(a)+ϵ2))]

(U2U(a))(xU2)(g(x)g[U2]g(x)(g(a)ϵ2,g(a)+ϵ2))

(U2U(a))(xU2)(g(x)g[U2]|g(x)g(a)|<ϵ2)(2)

 

(1),(2)(U:=U1U2U(a))(xU)((f+g)(x)(f+g)[U]|(f+g)(x)(f+g)(a)|=|f(x)+g(x)f(a)g(a)||f(x)f(a)|+|g(x)g(a)|ϵ2+ϵ2=ϵ)

 

(U:=U1U2U(a))(xU)((f+g)(x)(f+g)[U](f+g)(x)((f+g)(a)ϵ,(f+g)(a)+ϵ))

 

(U:=U1U2U(a))((f+g)[U]((f+g)(a)ϵ,(f+g)(a)+ϵ).

 

O halde f+g:XR fonksiyonu a noktasında süreklidir. aX keyfi olduğundan f+g fonksiyonu (X'de) sürekli yani (τ-U) süreklidir.

 

Not: h:=f+g yazmak suretiyle daha sade bir şekilde yazılabilir.

 

(11.5k puan) tarafından 
tarafından yeniden gösterildi
Topolojik uzaylarda sürekliliğin karakterizasyonu
20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,908 kullanıcı