Teorem: (X,τ),(Y,τ′) topolojik uzaylar, f∈YX, a∈X ve B(f(a)), f(a)'da yerel baz olsun.
f, a'da sürekli⇔(∀V∈B(f(a)))(∃U∈U(a))(f[U]⊆V).
Noktasal sürekliliğin yukarıda verilen karakterizasyonundan faydalanarak şöyle bir kanıt verebiliriz:
a∈X olsun. y∈R olmak üzere B(y)={(y−ϵ,y+ϵ)|ϵ>0}⊆N(y)
ailesi,
y'de bir yerel bazdır.
((f+g)(a)−ϵ,(f+g)(a)+ϵ)∈B((f+g)(a)) verilmiş olsun.
V1∈B(f(a))⇒(∃ϵ>0)(V1=(f(a)−ϵ2,f(a)+ϵ2))f, a'da sürekli}⇒
⇒(∃U1∈U(a))(f[U1]⊆(f(a)−ϵ2,f(a)+ϵ2))
⇒(∃U1∈U(a))(U1⊆f−1[(f(a)−ϵ2,f(a)+ϵ2))]
⇒(∃U1∈U(a))(∀x∈U1)(x∈U1⇒x∈f−1[(f(a)−ϵ2,f(a)+ϵ2))]
⇒(∃U1∈U(a))(∀x∈U1)(f(x)∈f[U1]⇒f(x)∈(f(a)−ϵ2,f(a)+ϵ2))
⇒(∃U1∈U(a))(∀x∈U1)(f(x)∈f[U1]⇒|f(x)−f(a)|<ϵ2)…(1)
V2∈B(g(a))⇒(∃ϵ>0)(V2=(g(a)−ϵ2,g(a)+ϵ2))g, a'da sürekli}⇒
⇒(∃U2∈U(a))(g[U2]⊆(g(a)−ϵ2,g(a)+ϵ2))
⇒(∃U2∈U(a))(U2⊆g−1[(g(a)−ϵ2,g(a)+ϵ2))]
⇒(∃U2∈U(a))(∀x∈U2)(x∈U2⇒x∈g−1[(g(a)−ϵ2,g(a)+ϵ2))]
⇒(∃U2∈U(a))(∀x∈U2)(g(x)∈g[U2]⇒g(x)∈(g(a)−ϵ2,g(a)+ϵ2))
⇒(∃U2∈U(a))(∀x∈U2)(g(x)∈g[U2]⇒|g(x)−g(a)|<ϵ2)…(2)
(1),(2)⇒(U:=U1∩U2∈U(a))(∀x∈U)((f+g)(x)∈(f+g)[U]⇒|(f+g)(x)−(f+g)(a)|=|f(x)+g(x)−f(a)−g(a)|≤|f(x)−f(a)|+|g(x)−g(a)|≤ϵ2+ϵ2=ϵ)
⇒(U:=U1∩U2∈U(a))(∀x∈U)((f+g)(x)∈(f+g)[U]⇒(f+g)(x)∈((f+g)(a)−ϵ,(f+g)(a)+ϵ))
⇒(U:=U1∩U2∈U(a))((f+g)[U]⊆((f+g)(a)−ϵ,(f+g)(a)+ϵ).
O halde f+g:X→R fonksiyonu a noktasında süreklidir. a∈X keyfi olduğundan f+g fonksiyonu (X'de) sürekli yani (τ-U) süreklidir.
Not: h:=f+g yazmak suretiyle daha sade bir şekilde yazılabilir.