(⇒): f, I'da türevlenebilir ve Lipschitz sürekli olsun.
f, I'da Lipschitz sür.⇒(∃K>0)(∀x,a∈I)(|f(x)−f(a)|≤K|x−a|)
⇒(∃K>0)(∀x,a∈I)(x≠a⇒|f(x)−f(a)||x−a|=|f(x)−f(a)x−a|≤K)
⇒(∃K>0)(∀x,a∈I)(x≠a⇒limx→a|f(x)−f(a)x−a|=|limx→af(x)−f(a)x−a|≤K)f, I'da türevlenebilir}⇒
⇒(∃K>0)(∀a∈I)(|f′(a)|≤K).
(⇐): f, I'da türevlenebilir ve x,a∈I olsun.
f, I'da türevlenebilir⇒f, I'da sürekli(I, aralık)(x,a∈I)⇒[a,x]⊆I}⇒f, [a,x]'da sürekli…(1)
f, I'da türevlenebilir(I, aralık)(x,a∈I)⇒(a,x)⊆I}⇒f, (a,x)'da türevlenebilir…(2)
(1),(2)ODT⟹(∃c∈(a,x))(f(x)−f(a)x−a=f′(c))
⇒(∃c∈(a,x))(|f(x)−f(a)|=|f′(c)|⋅|x−a|)Hipotez}⇒
⇒(∃K>0)(∀x,a∈I)(|f(x)−f(a)|≤K|x−a|).