Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
439 kez görüntülendi

Yani gerçel sayılar kümesinin bir $I$ altkümesinin aralık olması için gerek ve yeter koşul $I$ kümesinin her $a,b$ elemanı için $[a,b]\subseteq I$ koşulunun sağlanmasıdır. Gösteriniz.

Not: $[a,b]:=\{x|a\leq x\leq b\}$

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 439 kez görüntülendi

Şimdi orada verdiğim teoremin ispatını soruyorum.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Gerek kısmı aralık tanımından açık. Yeter kısmını kanıtlayalım. Bu kısım için dört durum söz konusu.

$1. \text{ durum}:$ $I$ sınırlı, 

$2. \text{ durum}:$ $I$ üstten sınırlı alttan sınırlı değil,   

$3. \text{ durum}:$ $I$ alttan sınırlı üstten sınırlı değil, 

$4. \text{ durum}:$ $I$ alttan da üstten de sınırlı değil.

$1. \text{ durumun ispatı}:$ 

$$I \text{ sınırlı}$$

$$\overset{\scriptsize{\text{(Tamlık Aksiyomu)}}}{\Rightarrow}$$

$$ (\exists a,b\in\mathbb{R})(\inf I=a)(\sup I=b)$$$$\Rightarrow$$$$ I\subseteq [a,b]$$

Şimdi $$(a,b)\subseteq I$$ olduğunu gösterelim.

$$z\in (a,b)$$

$$\Rightarrow$$

$$(z\notin I^a)(z\notin I^ü)$$

$$\Rightarrow$$

$$ (\exists x\in I)(x<z)(\exists y\in I)(z<y)$$

$$\Rightarrow$$

$$z\in [x,y]$$

$$\overset{\text{Hipotez}}{\Rightarrow}$$

$$z\in I$$

O halde $$(a,b)\subseteq I.$$

Sonuç olarak

$$a,b\in I\Rightarrow I=[a,b]$$

$$a,b\notin I\Rightarrow I=(a,b)$$

$$a\in I, b\notin I\Rightarrow I=[a,b)$$

$$a\notin I, b\in I\Rightarrow I=(a,b]$$

yani $I$ aralık.

Notasyon: $$I^a:=\{x|y\in I\Rightarrow x\leq y\}, \,\ I^ü:=\{x|y\in I\Rightarrow y\leq x\}$$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Diğer durumlar için de benzer şeyler düşünülebilir.

20,237 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,051,163 kullanıcı