Tanım: Bir topolojik X uzayının bir topolojik ˜X uzayına topolojik denkliği (homeomorfizması); X'in topolojik yapısının ˜X'inkine bir eşdönüşümüdür, yani X'teki açık altkümeler kümesini ˜X'deki açık altkümeler kümesine dönüştüren (X'ten ˜X'e tanımlı) bir eşleşmedir (=birebir ve örten gönderme). Eğer X'ten ˜X'e bir topolojik denklik varsa, X ve ˜X'e birbirine topolojik denk denir.
Bir f:X→˜X eşleşmesinin topolojik denklik olabilmesinin şartı (tanımdan dolayı); X'teki her açık kümenin f'deki görüntüsünün ˜X'de de bir açık küme olması ve aynı zamanda ˜X'deki her açık kümenin f'deki ters görüntüsünün X'de de bir açık küme olmasıdır (=topolojik olarak f eşleşmesinin ve tersinin sürekli olmasının tanım).
Not: Ayrık uzaylar için her eşleşme bir topolojik denkliktir.
Önerme: İki küme arasında bir topolojik denkliğin varolması bir denklik ilişkisi tanımlar.
Kanıt: X bir kümeler kümesi olsun ve R⊆X×X de sadece aralarında bir topolojik denklik tanımlanabilen kümeleri içersin. Eğer X'den ˜X'e bir topolojik denklik f tanımlanabilirse yani (X,˜X)∈R biz bunu X∼˜X olarak gösterelim.
Yansımalılık: Her X∈X için X∼X'dir, çünkü f olarak birim göndermesi 11 yukardaki şartı geçerler.
Bakışıklık: Herhangi X,˜X∈X için X∼˜X olsun ve aradaki topolojik eşleşmeyi yine f olarak adlandıralım. f bir eşleşme olduğu için ters göndermesi f−1 vardır (görüntüler her zaman var olduğu için bu yukardaki şartı geçerlemeye yeter) →˜X∼X.
Geçişme özelliği: Herhangi X,˜X,ˉX∈X için X∼˜X -ilgili top. gönderme f- ve ˜X∼ˉX -top. gönderme g- ise, bileşkeleri f∘g'de bir eşleşmedir (ve üst satıra benzer şekilde...) →X∼ˉX.
◻
Bu şartları özel kılan kısmını hala pek anlamadım: Kahve fincanıyla donut arasında bir topolojik denklik var ↔ bir topolojici için ha kahve içmişsin ha donut tıkınıyorsun, arada bir fark yok?