Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
1k kez görüntülendi

Topolojik denklik nedir, bu denklik  icin neleri gostermemiz gerekir? Bu sartlar neden bir denklik verir? Bu sartlari ozel kilan nedir?

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından  | 1k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: Bir topolojik X uzayının  bir topolojik ˜X uzayına topolojik denkliği (homeomorfizması); X'in topolojik yapısının ˜X'inkine bir eşdönüşümüdür, yani X'teki açık altkümeler kümesini ˜X'deki açık altkümeler kümesine dönüştüren (X'ten ˜X'e tanımlı) bir eşleşmedir (=birebir ve örten gönderme). Eğer X'ten ˜X'e bir topolojik denklik varsa, X ve ˜X'e birbirine topolojik denk denir.

Bir f:X˜X eşleşmesinin topolojik denklik olabilmesinin şartı (tanımdan dolayı); X'teki her açık kümenin f'deki görüntüsünün ˜X'de de bir açık küme olması ve aynı zamanda ˜X'deki her açık kümenin f'deki ters görüntüsünün X'de de bir açık küme olmasıdır (=topolojik olarak f eşleşmesinin ve tersinin sürekli olmasının tanım).

Not: Ayrık uzaylar için her eşleşme bir topolojik denkliktir.

Önerme: İki küme arasında bir topolojik denkliğin varolması bir denklik ilişkisi tanımlar.

Kanıt: X bir kümeler kümesi olsun ve RX×X de sadece aralarında bir topolojik denklik tanımlanabilen kümeleri içersin. Eğer X'den ˜X'e bir topolojik denklik f tanımlanabilirse yani (X,˜X)R biz bunu X˜X olarak gösterelim.

Yansımalılık: Her XX için XX'dir, çünkü f olarak birim göndermesi 11 yukardaki şartı geçerler.

Bakışıklık: Herhangi X,˜XX için X˜X olsun ve aradaki topolojik eşleşmeyi yine f olarak adlandıralım. f bir eşleşme olduğu için ters göndermesi f1 vardır (görüntüler her zaman var olduğu için bu yukardaki şartı geçerlemeye yeter) ˜XX.

Geçişme özelliği: Herhangi X,˜X,ˉXX için X˜X -ilgili top. gönderme f- ve ˜XˉX -top. gönderme g- ise, bileşkeleri fg'de bir eşleşmedir (ve üst satıra benzer şekilde...) XˉX.

Bu şartları özel kılan kısmını hala pek anlamadım: Kahve fincanıyla donut arasında bir topolojik denklik var bir topolojici için ha kahve içmişsin ha donut tıkınıyorsun, arada bir fark yok?

(1.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,096,739 kullanıcı