Sonsuz kavramı üzerinde çok konuşulan, çok tartışılan bir kavram. Bir belirsizlik durumu söz konusu aslında. 'sonlu olmayan' şeye verilen ad demek de çok doğru değil. Bir limit değeri olarak incelemek daha mantıklı gibi. Ama şurası kesin ki $\infty$ olarak gösterdiğimiz ve 'sonsuz' olarak adlandırdığımız 'şey' bir sayı değildir. Üzerine basarak böyle dememin sebebiyse genelde 'tüm sayılardan büyük olan bir sayı' olarak kullanılan yanlış bir tanımının olması.
Şimdi şu kümeleri inceleyelim, $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$. Biliyoruz ki bu kümelerin eleman sayısı sonlu değil, yani bunlar sonsuz kümeler. Yine biliyoruz ki bir alt küme sıralaması yapmak istersek
\begin{equation}\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} \end{equation} sıralamasını elde ederiz.
Diğer yandan sonsuz kümeler arasında da bir ayrım yapmak mümkün. Çok kötü bir ifadeyle $\mathbb{R}$ kümesi, $\mathbb{Q}$ kümesinden daha sonsuz! Nasıl mı? Biraz tanım yapalım.
Tanım: Bir $A$ kümesi ile $\mathbb{N}$'nin bir alt kümesi arasında bir eşleme (yani birebir ve örten bir fonksiyon, bijection) kurabiliyorsak $A$ kümesine sayılabilir küme adı verilir.
$A$ kümesi sonlu ise bu eşleme tabii ki var, ilginç olan durum $A$'nın sonsuz olduğu durum.
Tanımdan ilk bakışta çıkan sonuç şu, $\mathbb{N}$ kümesi sayılabilir sonsuz bir kümedir. Diğer yandan kolayca gösterilebilir ki $\mathbb{Z}$ kümesi de, dahası $\mathbb{Q}$ kümesi de sayılabilir sonsuz kümelerdir. Yani $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Z}$ arasında ve $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Q}$ arasında birebir ve örten fonksiyonlar yazılabilir. (Yazmadıysanız daha önce deneyin, gerçekten çok eğlenceli) Bu tip kümelerin hepsini aynı sınıfta düşünüyoruz ve bu sınıfa da $\aleph_0$ diyoruz.
Diğer yandan $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{C}$ kümeleri sayılabilir sonsuz kümeler değiller yani $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{C}$ arasında eşleme bulmak mümkün değil. Bu tip kümelere de sayılamaz küme adı verilir. Gel gelelim, $\mathbb{R}$ ile $P(\mathbb{N})$ arasında ve $\mathbb{C}$ ile $P(\mathbb{N})$ arasında bir eşleme kurmak mümkün (bunu soru olarak ekleyeceğim), burada $P(\mathbb{N})$ ile $\mathbb{N}$'nin kuvvet kümesini (power set) yani $\mathbb{N}$'nin alt kümelerinin kümesini kastediyorum. Bu tip kümeleri de aynı sınıfta düşünüyoruz ve bu sınıfı da $\aleph_1$ olarak gösteriyoruz.
Benzer olarak $P(\mathbb{N})$ kümesiyle değil de, $P(P(\mathbb{N}))$ kümesiyle yani $\mathbb{N}$'nin kuvvet kümesinin kuvvet kümesiyle aralarında eşleme olan kümeler bulunabilir. Bu tip kümeleri de aynı sınıfta düşünüp bu sınıfa $\aleph_2$ adını veriyoruz. Ve devam ederek, $\aleph_3,\aleph_4\dots$.
'Eleman sayısı' kavramı sonlu kümeler için geçerli olan bir kavram. Sonsuz kümeler içinse 'güçlülük' (cardinality) kavramını kullanıyoruz. Yani bu anlamda $\mathbb{N}$ kümesi ile $\mathbb{Z}$ kümesi aynı güçlü, halbuki $\mathbb{N}$ kümesi $\mathbb{Z}$'den çok daha küçük!
Sonsuz kümeler arasındaki sıralama denen şey de işte bu $\aleph$ kavramı. Yani aslında sonsuzluğun boyutları hakkında konuşuyoruz.
Daha detaylı bilgiler için temel bir kümeler kuramı (set theory) kitabı incelenebilir. Kardinaller, ordinaller ve belki de papalar eşliğinde.