İyi sıralama ilkesi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
3,285 kez görüntülendi

İyi sıralama ilkesi: Negatif olmayan tam sayılar kümesinin boş kümeden farklı herhangi bir alt kümesinin bir en küçük elemanı vardır.

olarak ifade edilebilir. İyi sıralama ilkesi bir aksiyom mudur, teorem midir? Ya da daha açık soracak olursak, hangi aksiyomatik sistemde teorem olur ve nasıl kanıtlanabilir?

15, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde ayhandil (200 puan) tarafından  soruldu

Azalan, artan zincirler (assending, desending chains) icin onemi buyuk.. Introduction to Commutative Algebra kitabinin ilk unitesinde Zorn Lemma ile birlikte ispatlanmis teoremler var, basit teoremler, yani basitlesiyor bunlari kullanaraktan. Bakabilirsin.

ZFC'nin bir teorimidir. Hatta yanilmiyorsam ZFC'nin C'sine yani secim aksiyomuna denktir.

Sercan bey "Introduction to Commutative Algebra" kitabının yazarını öğrenebilir miyim?

Michael Atiyah.

Teşekkür ederim.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
Her küme üzerinde bir iyi sıralama bağıntısı olduğu ZFC kümeler kuramının bir belitidir (daha doğrusu seçim belitine denktir ve seçim beliti bazen bu şekilde ifade edilir). Ancak doğal sayılar yapısındaki standart sıralamanın bir iyi sıralama olduğu bir belit değildir. Öte yandan kanıtlaması çok zor da değildir.

Tabii önce doğal sayıların inşasını ve iyi sıralama olduğunu kanıtlayacağımız sıralama bağıntısının tanımını yapmamız gerekiyor. Doğal sayıları inşa etmenin birden çok yolu olsa da en popüler inşa sanıyorum ki von Neumann ordinalleri üzerinden yapılan aşağıdaki inşadır:

$S: x \mapsto x \cup \{x\}$ ardıl alma operasyonunu belirtmek üzere $\emptyset \in X \wedge \forall x \in X\ S(x) \in X$ özelliğini sağlayan her $X$ kümesine bir tümevarımsal küme diyelim. Sonsuzluk beliti gereği en az bir tümevarımsal küme vardır. Bir $X$ tümevarımsal kümesi seçip $X$'in her tümevarımsal kümenin elemanı olan elemanlarından oluşan alt kümesine $\mathbb{N}$ diyelim. Kısaca $\mathbb{N}$ tüm tümevarımsal kümelerin kesişimidir.

$\mathbb{N}$'nin elemanlarını "bildiğimiz rakamlarla" göstermek istiyorsak
$0=\emptyset$
$1=S(0)=\{0\}=\{\emptyset\}$
$2=S(1)=\{0,1\}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$
$3=S(2)=\{0,1,2\}=\{\emptyset, \{\emptyset\},\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$
... ve genel olarak $n+1=S(n)=n \cup \{n\}=\{0,1,2,...,n\}$ olacaktır.

Yukarıdaki inşanın bir sonucu olarak doğal sayılar kümesinin tümevarım ilkesini sağladığını yani $\forall X \subseteq \mathbb{N}\ ((0 \in X \wedge \forall x \in X\ S(x) \in X) \rightarrow X=\mathbb{N})$ olduğunu kolayca kanıtlayabilirsiniz.

Tümevarım kullanılarak $\mathbb{N}$ kümesinin her elemanının geçişken ve $\in$ bağıntısı tarafından iyi sıralanan kümeler olduğu kolayca kanıtlanabilir. Başka bir deyişle, $\mathbb{N}$ kümesinin her elemanı bir ordinal sayıdır. $\mathbb{N}$'nin bu özellikleri sağlayan elemanları kümesi $X$ olsun. $X$'in tümevarımsal olduğunu göstermeniz yeterli.

$\mathbb{N}$ üzerinde $x < y \leftrightarrow x \in y$ bağıntısını tanımlayalım, ki bu sıralama doğal sayılar üzerindeki bildiğimiz sıralamadır. $<$ bağıntısının $\mathbb{N}$ kümesi üzerinde (strict) bir doğrusal sıralama olduğu bir üstteki paragraftaki iddialardan ve temellendirme belitinden çıkıyor.

Şimdi boş olmayan bir $A \subseteq \mathbb{N}$ kümesi alalım. $A$'nın bir $\in$-minimal elemanı olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Bir $n \in A$ elemanı seçelim. Eğer $n$ sayısı $A$ kümesinin $\in$-minimal elemanıysa kanıtlayacak bir şey yok. Eğer $n$ sayısı $A$ kümesinin $\in$-minimal elemanı değilse $n \cap A$ kümesi boş değildir. Öte yandan $n \cap A \subseteq n$ olduğu için ve $n$ kümesi $\in$ bağıntısı altında iyi sıralı olduğu için $n \cap A$'nın bir $\in$-minimal elemanı vardır, bu elemana $m$ diyelim. Bu durumda $m$ sayısı $A$'nın $\in$-minimal elemanı olacaktır. Yani $\mathbb{N}$ kümesi $\in$ altında iyi sıralı bir kümedir ve kendisi de bir ordinal sayıdır.

Bu kanıtın dayandığı ana noktalardan bir tanesi her $m,n \in \mathbb{N}$ için ya $m=n$, ya $m \in n$ ya da $n \in m$ olduğudur, ki bu da $\mathbb{N}$'nin elemanları ordinal sayılar olan bir küme olduğunun kanıtlanmasından sonra kolayca çıkıyor. Zira bu "trichotomy" verilen herhangi iki ordinal sayı için doğrudur.
15, Şubat, 2015 Burak (1,254 puan) tarafından  cevaplandı
15, Şubat, 2015 Burak tarafından düzenlendi

Not olarak ekleyeyim. Aslında kanıtladığımız şey en genel haliyle şu: $A$ kümesi elemanları ordinal sayılar olan bir küme olsun öyle ki her $x \in A$ için eğer $y \in x$ ise $y \in A$ olsun. Bu durumda $A$ kümesi de bir ordinal sayıdır.

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Eğer iyi sıralama ilkesini sorudaki gibi doğal sayılar (ya da negatif olmayan tam sayılar kümesi üzerinde) üzerine düşünülürse bir teoremdir. İyi sıralı olduğu ispatlanabilen başka önemli örnekler de var. 

Şu kümeler kuramında önemli bir önerme "her küme iyi sıralanabilir", meali her küme için öyle bir sıralama bulunabilir öyle ki bahsedilen küme bu sıralamaya göre iyi sıralıdır (boş olmayan her alt kümesinin bir en küçük elemanı vardır). Mesela tam sayılar kümesi kendi doğal sıralaması ile iyi sıralı değil fakat tam sayıları iyi sıralı yapan bir başka sıralama kolaylıkla bulunabilir. 

Eğer "her küme iyi sıralanabilir" önermesini iyi sıralama ilkesi olarak tanımlarsanız bu kümeler kuramının her modelinde bir teorem değildir. Örneğin ZF aksiyon sisteminden bağımsız bir önermedir ve aslında "seçme aksiyomu"na denktir.

15, Şubat, 2015 Salih Durhan (1,271 puan) tarafından  cevaplandı
...