gibi doğal sayıları inşa ediyoruz.
Bir küme sonsuzdur ancak ve ancak bir doğal sayı ile arasında eşleme yoksa.
Tanım: Bir küme Dedekind-sonsuzdur ancak ve ancak bir öz altkümesi ile arasında bir eşleme varsa.
Seçim belitinin bir sonucu olarak bir küme sonsuzdur ancak ve ancak Dedekind-sonsuz ise. Yani bir kümenin sonsuz olması yukarıdaki iki koşula denktir.
Elemanları
∈ bağıntısı tarafından iyi sıralanmış geçişken kümelere
ordinal sayı denir. İyi sıralı her kümenin bir ordinale sıralama yapısıyla eş yapısal olduğu biraz uğraşla kanıtlanabilir. Seçim belitinin eş değer ifadelerinden bir tanesi de her kümenin iyi sıralanabilir olduğudur. Bunun sonucunda her küme bir ordinal sayı ile eşlenebilir.
Ordinal sayılar
∈ altında iyi sıralanmış bir sınıf oluşturur ve kendisinden önceki ordinaller ile eşlenemeyen ordinal sayılara kardinal sayılar denir. Kardinal sayılar kümelerin büyüklüklerini ölçmek için kullandığımız bir tür ordinal sayılardır ve bir üstteki paragrafın bir sonucu olarak her küme bir kardinal sayı ile eşlenebilir.
N kümesi ilk sonsuz kardinal (ve ilk limit ordinaldir) ve
ω,
ω0 ya da
ℵ0 sembolleri ile gösterilir. Bu kümeyle arasında bir eşleme olan kümelere sayılabilir sonsuz diyoruz.
ℵ0'nun bir alt kümesiyle eşlenebilen kümelere de sayılabilir küme diyoruz, ki bu kümeler sonlu kümeleri de kapsar.
Cantor'un teoremi gereği her kümenin kuvvet kümesinin kardinalitesi kendisinden daha büyüktür. Dolayısıyla sayılabilir sonsuz bir küme alırsanız bu kümenin kuvvet kümesi iyi sıralandığında eşlenebildiği kardinal
ω0 olamaz. Demek ki
ω0'dan büyük kardinaller olmak zorunda. Ordinaller iyi sıralı bir sınıf olduğu için böyle kardinallerin en küçüğü de olmak zorunda. Bu kardinale
ω1 diyelim.
ω1'in tüm sayılabilir ordinallerin kümesi olduğu kolayca gösterilebilir. Hatta tersten giderek
ω1'in tanımını tüm sayılabilir ordinallerin kümesi olarak yapıp en küçük sayılamaz kardinal olduğunu da gösterebilirsiniz.
Sayılamaz sonsuz dediğimiz şey kardinalitesi
ω1'den büyük eşit olan kümelerdir. Başka bir deyişle bir küme sayılamaz sonsuzdur ancak ve ancak
ω1'den o kümeye birebir bir fonksiyon var ise.
Sonluötesi özyineleme ile
ω0=ω ve her
α ordinali için
ωα+1'i kardinalitesi
ωα'dan büyük en küçük kardinal olarak tanımlıyoruz.
α'nın bir limit ordinal olduğu durumlarda ise
ωα=⋃β<αωβ olarak tanımlıyoruz. Böylece tüm kardinal sayıları ordinal sayılar ile eşleyebiliyoruz. İki sonsuz kümeyi karşılaştırmak istediğiniz zaman yapmanız gereken tek şey ise bu kümelerin eşleştikleri kardinal sayıları karşılaştırmak.
Dikkat edilmesi gereken bir nokta şu ki
P(N) kümesinin kardinalitesi
ω1 olmak zorunda değildir. Bu varsayıma
süreklilik hipotezi denir ve kümeler kuramı belitlerinden bağımsızdır. Yani bu hipotezi ne kanıtlayabilirsiniz ne de çürütebilirsiniz. Hatta biraz daha teknik detaylara girersek
P(N) kümesinin kardinalitesinin, ki
2ℵ0 ile gösterilir,
eş sonluluğu ω olmayan herhangi bir sayılamaz kardinal olduğu varsayımının kümeler kuramının belitleri ile tutarlı olduğu
zorlama tekniği ile gösterilebilir.