Her normlu lineer uzay bir iç çarpım uzayı mıdır?

Question

Bir soru ile ilgili olarak: http://matkafasi.com/19452/her-ic-carpim-uzayinin-bir-normlu-uzay-oldugunu-gosteriniz

Answer 1

Degildir.

Paralelkenar yasasi dedigimiz $$2(\| x\|^2 + \|y\|^2) = \| x+y \|^2 + \| x - y\|^2$$ kurali, her ic carpim uzayinda saglanirken (buradaki norm ic carpimdan gelen norm), her normlu uzayda saglanmaz. Ornegin $\mathbb{R}^n$ uzerinde $\| x\| = (x_1^p + \ldots + x_n^p)^{1/p}, \quad p \in \mathbb{N}$ ile tanimlanan norm paralalkenar yasasini sadece $p = 2$ icin saglar.