Kendi sordu kendi yanıtladı olsun. Analizci değilim, birazcık, çok azıcık biliyorum. Bu nedenle yanılmayı göze alarak okuyun. Biraz uzun bir yanıt olabilir bu arada.
Öncelikle şunu not etmek gerek. Anlamaya çalıştığımız realite, Lebesgue ölçüm realitesi. Özel olarak da $\mathbb{R}$ üzerindeki Lebesgue ölçümü.
Öncelikle:
Bkz: $\sigma$-cebiri nedir? $\mathbb{R}$ üzerinde tanımlı Borel $\sigma$-cebiri nedir?
Bkz: Lebesgue dışölçümü ve bu dışölçüme göre ölçülebilir küme ne demektir?
Bkz: Ölçülebilir küme ile ölçülemez kümeyi birbirinden ayıran nedir?
Bkz: Ölçülebilir fonksiyon nedir?
Analiz yapmak istiyoruz ve bu nedenle teker teker kümeleri değil de, kümeleri üzerlerindeki fonksiyonlarla çalışıyoruz (ki bu aslında çok daha genel bir felsefe: Bkz: Yoneda Lemma). Hatta fonksiyonları da tek tek değil, aileler biçiminde çalışıyoruz, yani fonksiyon dizilerini. O halde ölçülebilir kümeleri, ölçülebilir fonksiyon dizilerinin yakınsadıkları fonksiyonları, yakınsama biçimlerini anlamaya çalışmalıyız. Littlewood prensipleri bize, bu çalışma sırasında nereye bakmamız gerektiğini söylerler:
En kaba tabiriyle, ölçümü sıfır olan kümeleri anlamak yeterlidir denilebilir bu prensiplere (Açık kümeleri, düzgün yakınsamayı, sürekli fonksiyonları anladığımız varsamıyla). Kabaca böyle açıkladığım prensiplerin Littlewood'un dile getiriş biçimi şöyledir (Lectures on Theory of Functions):
-
Ölçümü sonlu olan ölçülebilir her küme, neredeyse sonlu sayıda açık aralığın birleşimidir;
-
Ölçülebilir her fonksiyon neredeyse süreklidir;
-
Yakınsak ölçülebilir fonksiyonlar dizisi neredeyse düzgün yakınsar.
Birinci prensibin basit bir hali şudur: $E$ ölçülebilir bir kümeyse, her $\epsilon>0$ için $O_{\epsilon}\subseteq E$ içerme ilişkisini ve $$\mu(O)-\mu(E)<\epsilon$$ eşitsizliğini sağlayan açık bir $O_{\epsilon}$ kümesi vardır. Yani, $E$'yi açık kümelerle kıstırabiliriz. (Bunun tam tersi, yani kapalı kümelerle içerden kestirebiliriz iddiası da doğru.) Dikkat edilirse açık kümeler açık aralıkların birleşimidir. Bu iddianın ispatı için şu
soruya bakabilirsiniz.
Birinci prensibi bir versiyonunu formal biçimde yazalım: $E$, ölçümü sonlu olan (haliyle ölçülebilir) bir küme olsun. Bu durumda, sıfırdan büyük hangi $\epsilon$ sayısı alınırsa alınsın $$\mu\Big(E-\bigcup_{i=1}^nI_i\Big)+ \mu\Big(\bigcup_{i=1}^nI_i-E\Big)<\epsilon$$ eşitsizliklerini sağlayan ve birbirinden ayrık $I_1,\cdots,I_n$ açık aralıklar ailesi bulunabilir.
İkinci prensibin bir versiyonunun formal dile getirilişi de şöyledir: $[a,b]$ aralığında tanımlı ölçülebilir $f$ fonksiyonunun $\pm\infty$ değerlerini aldığı elemanlar kümesinin ölçümünün sıfır olduğunu varsayalım. Bu durumda, sıfırdan büyük hangi $\epsilon$ sayısı alınırsa alınsın $f$ fonksiyonuna $\epsilon$'dan yakın sürekli bir $g$ fonksiyonu ve bir $h$ adım fonksiyonu bulunabilir. Bu yakınlık ölçümü $\epsilon$'dan küçük bir kümede doğru olmayabilir. Yani, $g$ ve $h$ fonksiyonları aşağıdaki şartları sağlar:
-
$g$ sürekli bir fonksiyondur, $h$ bir adım fonksiyonudur;
-
$\{x\in[a,b]:|f(x)-g(x)|\geq\epsilon\}$ ve $\{x\in[a,b]:|f(x)-h(x)|\geq\epsilon\}$ kümelerinin ölçümleri $\epsilon$'dan küçüktür.
Bu iki şart $f$'nin alttan ve üstten sınırlandırılması durumunda daha da kuvvetlendirilebilir: Aynı $g$ ve $h$'nin de aynı sınırlarla sınırlı olması sağlanabilir.
Son olarak da üçüncü prensibin bir versiyonunun formal biçimde yazalım: $E$ ölçülebilir, $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ de bu küme üzerinde tanımlı bir ölçülebilir fonksiyonlar dizisi olsun. Diyelim ki her $x\in E$ için $f_n(x)$ dizisi yakınsak ve $f$ fonsksiyonu da $$f(x)=\lim_{\substack{\\ n\rightarrow \infty}}f_n(x)$$ biçiminde tanımlanmış olsun. Bu şartlar altında sıfırdan büyük hangi $\epsilon$ ve hangi $\delta$ alınmış olursa olsun aşağıdaki şartları sağlayan ölçülebilir bir $A$ kümesi bulunabilir:
-
$A\subseteq E$;
-
$\mu(A)<\delta$;
-
Öyle bir $N$ doğal sayısı vardır ki, $x\notin A$ ve $n\geq N$ ise $$|f_n(x)-f(x)<\epsilon|$$eşitsizliği sağlanır.
Bu prensiplerin ispatı başka soruların yanıtları olarak verilebilir (Bu yanıtla ilgili sorulmuş sorulara bakabilirsiniz.). Ben son olarak üçüncü prensibin bir örneklemesini yapayım.
$E$, ölçümü sonlu olan (haliyle ölçülebilir olan) bir küme olsun. $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ de $E$ üzerinde tanımlı üstten sınırlı ortak bir sınırı olan ölçülebilir fonksiyonlar ailesi olsun. Yani, $$|f_n(x)|\leq M$$eşitsizliğini her $x\in E$ ve her $n\in\mathbb{N}$ için sağlayan bir $M$ reel sayısı olsun. Ve son olarak da üçüncü prensipteki gibi, $$f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)$$ olsun. Amacımız $$\int_E f d\mu$$ (integral tanımı için de yanıta ilişkin sorulara bakabilirsiniz. Gün gelecek içi dolacak :P) hakkında bir çıkarımda bulunmak. İntegral doğrusal (lineer) bir operatör olduğu için elimizde $$\Big| \int_E f-\int_E f_n\Big|=\Big|\int_E f-f_n\Big|$$ -bu yanıtı okuyan varsa ona not: çatıdan kucağıma kedi düştü :)-eşitliği var. İntegral monoton ib roperatör olduğu için de $$\Big|\int_E f-f_n\Big|\leq\int_E|f-f_n|$$eşitsizliği doğrudur. Üçüncü prensip gereği $E$'nin içinde kalacak ve ölçümü istediğimiz kadar ufak olan, kendisinin dışında kalan noktalarda ise $f-f_n$'nin istediğimiz kadar küçük olacağı ölçülebilir bir $A$ kümesi bulabiliriz. Şimdilik $A$ için nasıl bir kısıtlama istediğimizi düşünmeden $E$ içinde herhangi bir ölçülebilir $A$ alalım. Bu durumda integralin ayrık ölçülebilir kümelere ayrılabilmesi nedeniyle en son integrali şu biçime getirebiliriz: $$\int_E|f-f_n|=\int_{E-A}|f-f_n|+\int_A|f-f_n|$$Şimdi $A$'yı istediğimiz gibi alarak integralleri kesteribiliriz. Eğer üçüncü prensipteki $\epsilon$'u küçük alırsak $\int_{E-A}|f-f_n|$ değerini sınırlayabiliriz, $\delta$'yı küçük alırsak da $\int_A|f-f_n|$ değerini sınırlayabiliriz. O halde $A$'yı $\epsilon=\frac{1}{2k\mu(E)}$ ve $\delta=\frac{1}{4kM}$ için üçüncü prensipte sıralanan şartları sağlayan bir küme alalım. Bu durumda ikinci integral şu eşitsizliği sağlayacaktır: $$\int_A|f_n-f|<\frac{1}{2k}$$ Çünkü integralin alındığı kümenin ölçümü $\frac{1}{4kM}$'dan küçük öte yandan da $f_n$ ve $f$ fonksiyonları da $M$ ile sınırlı olduğu için $|f-f_n|<2M$. İlk integral için de $n\geq N$ (Bu $N$ üçüncü prensipte sözü edilen $N$.) olduğu durumda benzer nedenlerle $$\int_{E-A}|f_n-f|<\frac{1}{2k}$$ olacaktır. Sonuç olarak $n\geq N$ olduğu durumda $$\Big|\int_E f_n\Big|-\Big|\int_E f\Big|\leq \int_{E-A}|f_n-f|+\int_A|f_n-f|\leq \frac{1}{k}$$eşitsizliği doğru olacaktır. Be sonuç her $k$ için elde edilebileceği için $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_Ef_n=\int_Ef$$olur.
Bulduğumuz bu sonuç literatürde sınırlı yakınsama teoremi (bounded convergence theorem) olarak geçer.