Processing math: 9%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
415 kez görüntülendi
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 415 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

KSKY:

Birinci prensip diyor ki, ölçümü sonlu kümeler neredeyse, sonlu sayıda, boyu sonlu açık aralığın birleşimine eşittir. Sonuç olarak bu sözü edilen aralıkların uçlarını da eklersek ölçümleri değiştirmeyiz. Yani, ölçümü sonlu olan kümeler neredeyse, sonlu sayıda, boyları sonlu kapalı aralığın birleşimine eşittir de denilebilir. 

İkinci prensip de diyor ki, kapalı bir aralık üzerinde tanımlı ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse süreklidir. Yani, f eğer [a,b] üzerinde tanımlı ölçülebilir bir fonksiyon ise hangi ϵ>0 alınırsa alınsın aşağıdaki şartı sağlayan sürekli bir hϵ fonksiyonu bulabiliriz:μ({x[a,b]:|f(x)hϵ(x)|ϵ})<ϵ Yani, görüntüleri f'nin görüntülerine istediğimiz kadar yakın sürekli bir fonksiyon bulabiliriz. Belki bazı yerlerde görüntüler istediğimiz kadar yakın olmayabilir ama o noktaların kümesini de sürekli fonksiyonumuzu değiştirerek istediğimiz kadar küçültebiliriz. 

Pekala, analiz demek, aileler çalışmak demek. Hatta belki matematik o demek artık. O halde [a,b] kapalı aralığında tanımlı fn ölçülebilir fonksiyonlar dizisi alalım ve f(x):=lim de yine [a,b] üzerinde yanımlı ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Eğer f_n'ler sürekli olsalardı, [a,b] tıkız bir küme olduğu için f_n\longrightarrow f düzgün bir yakınsama olacaktı. Ama değiller, yalnızca ölçülebilirler. Ama ikinci prensip gereği f_n'i, [a,b]'nin büyük bir kısmında f_n'e çok yakın sürekli bir h_n fonksiyonuyla değiştirebiliriz. Mesela rastgele bir \epsilon alalım dilediğimiz kadar küçük ve h_n'den şunları sağlamasını isteyelim:

  1. h_n sürekli olsun;
  2. |h_n(x)-f_n(x)|<\frac{\epsilon}{2^{n+1}} yakın olma kıstasının sağlanmadığı x\in[a,b] elemanlarının ölçümü \frac{\epsilon}{2^{n+1}}'den küçük olsun. (Yani bir hayli büyük bir kümede h_n ile f_n birbirlerine bir hayli yakın olsunlar. Ve bu kümenin büyük olma hali n büyüdükçe artarak devam eder, yakınlaşma da n büyüdükçe gittikçe çoğalır.)

(Böyle h_n'leri ikinci prensip icabı bulabileceğimizi biliyoruz.)

Şimdi [a,b] üzerinde tanımlı sürekli h_n fonksiyonlarına bakalım biraz. Öncelikle A_n\subseteq[a,b] ile |f_n(x)-h_n(x)|<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}şartını sağlayan elemanların kümesini gösterelim -B_n:=[a,b]-A_n kümesinin ölçümünün \frac{\epsilon}{2^{n+1}}'den küçük olduğunu biliyoruz, bunu unutmayalım. Ölçülebilir fonksiyon tanımı gereği A_n kümeleri ölçülebilir, dolayısıyla B_n kümeleri de, ve dolayısıylaB:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n kümesi de ölçülebilir. İşin güzel kısmı \mu(B)=\mu(\bigcup_{n\geq 1}B_n)\leq\sum_{n\geq 1}\frac{\epsilon}{2^{n+1}}=\epsilon/2 B kümesinin ölçümü sonlu olduğu için, birinci prensibin basit halini kullanar (yani ölçümü sonlu olan her küme ölçümü kendisine çok yakın olan açık bir küme tarafından kapsanır). O halde böyle bir O açık kümesi alalım:

  1. O\supseteq B;
  2. \mu(O-B)<\epsilon/2.

X:=[a,b]-O kümesi sınırlı ve kapalı bir küme, çünkü O açık bir küme. Ve h_n fonksiyonları f fonksiyonuna X kümesi üzerinde noktasal olarak yakınsıyorlar. Bu neden doğru? Çünkü h_n'ler f'e noktasal olarak yaklaşıyorlar, h_n'ler de f_n'lere çok yakınlar. O halde h_n'ler tıkız olan X kümesi üzerinde f'e düzgün yakınsıyorlardır. Şimdi, doğal olarak f_n'lere çok yakın olan h_n'lerin f''e düzgün yakınsamasını kullanarak f_n'lerin f'e X üzerinde düzgün yakınsadığını göstermeye çalışabiliriz ve çalışmalıyız da.

\epsilon>0 alalım ve yukarıdaki gibi h_n fonksiyonlarını ve X kümesini oluşturalım. h_n'ler f'e düzgün yakınsadığı için öyle bir N\in\mathbb{N} vardır ki, hangi x\in X alırsak alalım eğer n\geq N ise |h_n(x)-f(x)|<\epsilon/2 olacaktır. Buradan da şu sonuç çıkar: |f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-h(x)+h_n(x)-f(x)|\\  \qquad  \leq|f_n(x)-h(x)|+|h_n(x)-f(x)|\\ \qquad \leq \epsilon/2+\epsilon/2^n\leq \epsilon

Bu da X üzerinde f_n fonksiyonları f'e düzgün yakınsıyor demek. Ama bu X kümesinin ölçümünü istediğimiz kadar küçültebiliriz. O halde bu, f_n fonksiyonları f'e [a,b] üzerinde hemen hemen her yerde düzgün yakınsıyor demektir.

Sonuç olarak şunu ispatladık: [a,b] kapalı aralığında ölçülebilir f fonksiyonuna noktasal olarak yakınsayan f_n dizisi f'e hemen hemen her yerde düzgün yakınsıyordur. Ama bundan daha iyisi de var. Bu iddianın birazcık daha geliştirilmiş biçimi olan Egoroff teoremi. Bu teorem, ispatladığımız iddiadaki [a,b] kapalı aralığını ölçümü sonlu herhangi ölçülebilir bir kümeyle değiştirebileceğimizi söyler.

(3.7k puan) tarafından 
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,072,483 kullanıcı