KSKY:
Birinci prensip diyor ki, ölçümü sonlu kümeler neredeyse, sonlu sayıda, boyu sonlu açık aralığın birleşimine eşittir. Sonuç olarak bu sözü edilen aralıkların uçlarını da eklersek ölçümleri değiştirmeyiz. Yani, ölçümü sonlu olan kümeler neredeyse, sonlu sayıda, boyları sonlu kapalı aralığın birleşimine eşittir de denilebilir.
İkinci prensip de diyor ki, kapalı bir aralık üzerinde tanımlı ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse süreklidir. Yani, $f$ eğer $[a,b]$ üzerinde tanımlı ölçülebilir bir fonksiyon ise hangi $\epsilon>0$ alınırsa alınsın aşağıdaki şartı sağlayan sürekli bir $h_{\epsilon}$ fonksiyonu bulabiliriz:$$\mu\Big(\{x\in[a,b]:|f(x)-h_{\epsilon}(x)|\geq\epsilon\}\Big)<\epsilon$$ Yani, görüntüleri $f$'nin görüntülerine istediğimiz kadar yakın sürekli bir fonksiyon bulabiliriz. Belki bazı yerlerde görüntüler istediğimiz kadar yakın olmayabilir ama o noktaların kümesini de sürekli fonksiyonumuzu değiştirerek istediğimiz kadar küçültebiliriz.
Pekala, analiz demek, aileler çalışmak demek. Hatta belki matematik o demek artık. O halde $[a,b]$ kapalı aralığında tanımlı $f_n$ ölçülebilir fonksiyonlar dizisi alalım ve $f(x):=\lim_n f_n(x)$ de yine $[a,b]$ üzerinde yanımlı ölçülebilir bir fonksiyon olsun. Eğer $f_n$'ler sürekli olsalardı, $[a,b]$ tıkız bir küme olduğu için $f_n\longrightarrow f$ düzgün bir yakınsama olacaktı. Ama değiller, yalnızca ölçülebilirler. Ama ikinci prensip gereği $f_n$'i, $[a,b]$'nin büyük bir kısmında $f_n$'e çok yakın sürekli bir $h_n$ fonksiyonuyla değiştirebiliriz. Mesela rastgele bir $\epsilon$ alalım dilediğimiz kadar küçük ve $h_n$'den şunları sağlamasını isteyelim:
-
$h_n$ sürekli olsun;
-
$$|h_n(x)-f_n(x)|<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$$ yakın olma kıstasının sağlanmadığı $x\in[a,b]$ elemanlarının ölçümü $\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$'den küçük olsun. (Yani bir hayli büyük bir kümede $h_n$ ile $f_n$ birbirlerine bir hayli yakın olsunlar. Ve bu kümenin büyük olma hali $n$ büyüdükçe artarak devam eder, yakınlaşma da $n$ büyüdükçe gittikçe çoğalır.)
(Böyle $h_n$'leri ikinci prensip icabı bulabileceğimizi biliyoruz.)
Şimdi $[a,b]$ üzerinde tanımlı sürekli $h_n$ fonksiyonlarına bakalım biraz. Öncelikle $A_n\subseteq[a,b]$ ile $$|f_n(x)-h_n(x)|<\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$$şartını sağlayan elemanların kümesini gösterelim -$B_n:=[a,b]-A_n$ kümesinin ölçümünün $\frac{\epsilon}{2^{n+1}}$'den küçük olduğunu biliyoruz, bunu unutmayalım. Ölçülebilir fonksiyon tanımı gereği $A_n$ kümeleri ölçülebilir, dolayısıyla $B_n$ kümeleri de, ve dolayısıyla$$B:=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}B_n$$ kümesi de ölçülebilir. İşin güzel kısmı $$\mu(B)=\mu(\bigcup_{n\geq 1}B_n)\leq\sum_{n\geq 1}\frac{\epsilon}{2^{n+1}}=\epsilon/2$$ $B$ kümesinin ölçümü sonlu olduğu için, birinci prensibin basit halini kullanar (yani ölçümü sonlu olan her küme ölçümü kendisine çok yakın olan açık bir küme tarafından kapsanır). O halde böyle bir $O$ açık kümesi alalım:
-
$O\supseteq B$;
-
$\mu(O-B)<\epsilon/2$.
$X:=[a,b]-O$ kümesi sınırlı ve kapalı bir küme, çünkü $O$ açık bir küme. Ve $h_n$ fonksiyonları $f$ fonksiyonuna $X$ kümesi üzerinde noktasal olarak yakınsıyorlar. Bu neden doğru? Çünkü $h_n$'ler $f$'e noktasal olarak yaklaşıyorlar, $h_n$'ler de $f_n$'lere çok yakınlar. O halde $h_n$'ler tıkız olan $X$ kümesi üzerinde $f$'e düzgün yakınsıyorlardır. Şimdi, doğal olarak $f_n$'lere çok yakın olan $h_n$'lerin $f'$'e düzgün yakınsamasını kullanarak $f_n$'lerin $f$'e $X$ üzerinde düzgün yakınsadığını göstermeye çalışabiliriz ve çalışmalıyız da.
$\epsilon>0$ alalım ve yukarıdaki gibi $h_n$ fonksiyonlarını ve $X$ kümesini oluşturalım. $h_n$'ler $f$'e düzgün yakınsadığı için öyle bir $N\in\mathbb{N}$ vardır ki, hangi $x\in X$ alırsak alalım eğer $n\geq N$ ise $$|h_n(x)-f(x)|<\epsilon/2$$ olacaktır. Buradan da şu sonuç çıkar: $$|f_n(x)-f(x)|=|f_n(x)-h(x)+h_n(x)-f(x)|\\ \qquad \leq|f_n(x)-h(x)|+|h_n(x)-f(x)|\\ \qquad \leq \epsilon/2+\epsilon/2^n\leq \epsilon$$
Bu da $X$ üzerinde $f_n$ fonksiyonları $f$'e düzgün yakınsıyor demek. Ama bu $X$ kümesinin ölçümünü istediğimiz kadar küçültebiliriz. O halde bu, $f_n$ fonksiyonları $f$'e $[a,b]$ üzerinde hemen hemen her yerde düzgün yakınsıyor demektir.
Sonuç olarak şunu ispatladık: $[a,b]$ kapalı aralığında ölçülebilir $f$ fonksiyonuna noktasal olarak yakınsayan $f_n$ dizisi $f$'e hemen hemen her yerde düzgün yakınsıyordur. Ama bundan daha iyisi de var. Bu iddianın birazcık daha geliştirilmiş biçimi olan Egoroff teoremi. Bu teorem, ispatladığımız iddiadaki $[a,b]$ kapalı aralığını ölçümü sonlu herhangi ölçülebilir bir kümeyle değiştirebileceğimizi söyler.