Question

Ölçülebilir fonksiyon ne demek?

Answer 1

Tanım: $(X,\mathcal{A})$, $(Y,\mathcal{B})$ iki ölçüm uzayı, $f: X\mapsto Y$ de bir fonksiyon olsun. Eğer her $B\in \mathcal{B}$ için $f^{-1}(B)\in \mathcal{A}$ geçerli ise, $f$'ye ($\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-) ölçülebilir fonksiyon denir.

Özel olarak $f:X\mapsto \mathbb{R}$ durumunda eğer her $t$ sayısı için katman kümesi $S_f(t):=\{x\in X:f(x)>t\}\in \mathcal{A}$ ise, $f$'ye ($\mathcal{A}$'ya göre) ölçülebilir fonksiyon denir (katman kümesinin tanımında $>$ yerine $<$, $\geq$ ya da $\leq$ koyulması fark yaratmaz). $f:X\mapsto \mathbb{C}$'nin ölçülebilir olması için de, aynı şekilde, $Ref$ ve $Imf$'nin ölçülebilir olması gereklidir.

Not: $f$'ye $\mathcal{A}$-ölçülebilir yerine -eğer $\mathcal{A}$ üzerinde bir $\mu$ ölçüsü tanımlıysa- $\mu$-ölçülebilir denildiği olur. Ama ölçülebilirlik için bir ölçü gerekmez.

Ayrıca bkz. $\sigma$-cebiri nedir? $\mathbb{R}$ üzerinde tanımlı Borel $\sigma$-cebiri nedir?