Aslında bir fark değil, ayrışmayı tamamen belirleyen bir özellik.
Çalışma Reel sayılar dünyasında çalışıyoruz ve μ∗ ile klasik dışölçümümüzü gösterelim. Hatta bu tanımı anımsatayım:
E⊆R olsun, I bir açık aralıksa l(I) ile I'nın boyunu gösterelim. Bu kabuller ışığında μ∗(E):=inf
Sorunun ilk kısmı şu:
Eğer E dışölçümü sonlu bir küme ise her \epsilon>0 için O_{\epsilon}=O\supseteq E ve \mu^*(O)-\mu^*(E)\leq \epsilon şartlarını sağlayan açık bir O kümesi vardır. Dolayısıyla da \mu^*(O_E)-\mu^*(E)=0 şartını sağlayan bir O_E\in G_{\delta} kümesi vardır. (G_{\delta} ile anlatılmak istenen, açık kümelerin sayılabilir kesişimlerinden oluşan kümelerin kümesi)
İkinci kısım:
Ölçülebilir kümelerin kopartılabilme özelliği vardır. Yani: Eğer E ölçülebilir ve F\supseteq E rastgele ise ve \mu(E)<\infty ise \mu^{*}(F-E)=\mu^*(F)-\mu^*(E)eşitliği sağlanır. (Bunu göstermek için ölçülebilir kümenin tanımını bilmeniz gerek.)
Üçüncü kısım:
Eğer E ölçülebilir bir küme ise birinci kısımdaki O_{\epsilon} kümesini \mu^*(O-E)\leq \epsiloneşitsizliğini sağlayacak biçimde, O_E kümesini de \mu^*(O_E-E)=0eşitliğini sağlayacak biçimde seçebiliriz.
Dördüncü kısım:
Üçüncü kısmı sağlayan bir küme ölçülebilir olmak zorundadır. Yani her \epsilon>0 için \mu^*(O_{\epsilon}-E)\leq\epsilonşartını sağlayan ve E'yi içeren bir O_{\epsilon} kümesinin varlığı E'nin ölçülebilir olmasını zorlar.