Lebesgue dışölçümü ve bu dışölçüme göre ölçülebilir küme ne demektir?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
75 kez görüntülendi
17, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,246 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tanım: $\mathbb{R}^n$'de $n$-boyutlu aralık olarak $a,b\in\mathbb{R}^n$, $a\leq b$, $I^k=[a_k,b_k]\subset\mathbb{R},$ $I:=[a,b]=[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$'yi tanımlıyoruz. Aralığın yalın içeriği $|I|:=(b_1-a_1)\cdots(b_n-a_n)$'dir. Bir aralık toplamının $I:=I_1\cup..\cup I_m$ yalın içeriği ise $|S|:=|I_1|+...+|I_m|$ olarak alınır.

Tanım: Bir $J$ damga (indeks) kümesi için $(I_j)_{j\in J}$ $\mathbb{R}^n$'deki  sonlu ya da sayılabilir aralık dizisi olsun. Herhangi bir $A\subset \mathbb{R}^n$ kümesi için Lebesgue dışölçüsü $\lambda(A):=\text{inf}\{\displaystyle\sum_{j\in J}|I_j|:A\subset \bigcup_{j\in J} I_j\}$'dir.

Sav: a) $A\subset\mathbb{R}^n$, $\lambda(\emptyset)=0$ için $0\leq \lambda(A)\leq \infty$.

        b) Tekdüzelik: $A\subset B\Rightarrow \lambda(A)\leq \lambda(B)$.

        c) $\sigma$-birleşmesi: $\lambda(\bigcup_{i \in\tilde{J}} A_i)\leq \sum_{i \in \tilde{J}} \lambda(A_i)$

         ($(A_i)_{i\in \tilde{J}}$ bir sonlu veya sayılabilir dizi).

Kanıt: Tanım $\Rightarrow$ a),b).

c) için sağ tarafın yakınsadığını varsayalım (yoksa aşikar). Bir $\epsilon>0$ için $(\epsilon_{i})_{i\in\tilde{J}}:=2^{-i}\epsilon $ olsun. Tanıma göre $\forall i\in \tilde{J}\ \ \exists (I^i_j)_{j\in {J}}:\ A_i\subset \displaystyle\bigcup_{j\in {J}}I^i_j\ \ \wedge \ \displaystyle\sum_{j\in J}|I^i_j|\leq \lambda(A_i)+\epsilon_i $.

$I_j^i$ çift dizisi $\displaystyle\bigcup_{i\in \tilde{J}}A_i$'i örttüğünden:

$\lambda(A)\leq  \displaystyle\sum_{i\in\tilde{J}, j\in J}|I_j^i|=\displaystyle\sum_{i\in\tilde{J}}\sum_{ j\in J}|I_j^i|\leq\displaystyle\sum_{i\in\tilde{J}}(\lambda_i(A_i)+\epsilon_i)\leq \sum_{i\in\tilde{J}}\lambda(A_i)+\epsilon$

$\square$

Tanım: Eğer $A\subset\mathbb{R}^n$ kümesi için 

$\forall E\subset\mathbb{R}^n: \lambda(E)=\lambda(E\cap A)+\lambda(E\cap (\mathbb{R}^n \setminus A))$

sağlanıyorsa; $A$'ya Lebesgue dışölçüsüne göre ölçülebilir -yazılışı $A\in \mathcal{L}$-,  $\lambda(A)$ sayısına da $A$'nın Lebesgue ölçüsü denir. 


21, Temmuz, 2015 fiziksever (1,140 puan) tarafından  cevaplandı
...