Tanım: Rn'de n-boyutlu aralık olarak a,b∈Rn, a≤b, Ik=[ak,bk]⊂R, I:=[a,b]=[a1,b1]×⋯×[an,bn]'yi tanımlıyoruz. Aralığın yalın içeriği |I|:=(b1−a1)⋯(bn−an)'dir. Bir aralık toplamının I:=I1∪..∪Im yalın içeriği ise |S|:=|I1|+...+|Im| olarak alınır.
Tanım: Bir J damga (indeks) kümesi için (Ij)j∈J Rn'deki sonlu ya da sayılabilir aralık dizisi olsun. Herhangi bir A⊂Rn kümesi için Lebesgue dışölçüsü λ(A):=inf{∑j∈J|Ij|:A⊂⋃j∈JIj}'dir.
Sav: a) A⊂Rn, λ(∅)=0 için 0≤λ(A)≤∞.
b) Tekdüzelik: A⊂B⇒λ(A)≤λ(B).
c) σ-birleşmesi: λ(⋃i∈˜JAi)≤∑i∈˜Jλ(Ai)
((Ai)i∈˜J bir sonlu veya sayılabilir dizi).
Kanıt: Tanım ⇒ a),b).
c) için sağ tarafın yakınsadığını varsayalım (yoksa aşikar). Bir ϵ>0 için (ϵi)i∈˜J:=2−iϵ olsun. Tanıma göre ∀i∈˜J ∃(Iij)j∈J: Ai⊂⋃j∈JIij ∧ ∑j∈J|Iij|≤λ(Ai)+ϵi.
Iij çift dizisi ⋃i∈˜JAi'i örttüğünden:
λ(A)≤∑i∈˜J,j∈J|Iij|=∑i∈˜J∑j∈J|Iij|≤∑i∈˜J(λi(Ai)+ϵi)≤∑i∈˜Jλ(Ai)+ϵ
◻
Tanım: Eğer A⊂Rn kümesi için
∀E⊂Rn:λ(E)=λ(E∩A)+λ(E∩(Rn∖A))
sağlanıyorsa; A'ya Lebesgue dışölçüsüne göre ölçülebilir -yazılışı A∈L-, λ(A) sayısına da A'nın Lebesgue ölçüsü denir.