Question

Bir metrik uzayda $(x_n)_n$ Cauchy dizisi yakınsaktır gerek ve yeter koşul  $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak bir altdizisi vardır.

Comments

Bu soruda neler düşündüğünü/denediğini de eklemelisin @ Ruveyda Bıçakçı.

Answer 1

Gereklilik kısmı açıktır: Bir $(X,d)$topolojik uzayında $(x_n)\to x\in X$ olması için gerek ve yeter şart her $x_{n_k}$ alt dizisi için $x_{n_k}\to x$ olduğundan (yani bir dizinin limiti ile alt dizilerinin limiti aynıdır) Cauchy dizisinin yakınsak bir alt dizisi vardır.

$x_{n_k}\to x$ olsun. Her $\epsilon\gt 0$ için $d(x_i,x)\lt \epsilon$ olacak şekilde bir $N\lt i$ göstergecinin varlığını göstermeliyiz. $(x_n)$ bir Cauchy dizisi olduğundan öyle bir $M\le j$ göstergeci vardır ki $d(x_M,x_j)\lt \epsilon/2$ ve dizinin yakınsaklığından $d(x_M,x)\le\epsilon/2$ yazabiliriz.

$M=N$ alırsak $$d(x_i,x)\le d(x_N,x)+d(x_i,x_N)=\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$$   $$d(x_i,x)\lt \epsilon$$ elde edilir.