Bir metrik uzayda $(x_n)_n$ Cauchy dizisi yakınsaktır gerek ve yeter koşul $(x_n)_n$ dizisinin yakınsak bir altdizisi vardır.

Question

1 cevap

alpercay · Answer 1 · 2024-05-31T10:12:35+0000

Gereklilik kısmı açıktır: Bir

$(X,d)$ topolojik uzayında

$(x_n)\to x\in X$ olması için gerek ve yeter şart her

$x_{n_k}$ alt dizisi için

$x_{n_k}\to x$ olduğundan (yani bir dizinin limiti ile alt dizilerinin limiti aynıdır) Cauchy dizisinin yakınsak bir alt dizisi vardır.

$x_{n_k}\to x$ olsun. Her

$\epsilon\gt 0$ için

$d(x_i,x)\lt \epsilon$ olacak şekilde bir

$N\lt i$ göstergecinin varlığını göstermeliyiz.

$(x_n)$ bir Cauchy dizisi olduğundan öyle bir

$M\le j$ göstergeci vardır ki

$d(x_M,x_j)\lt \epsilon/2$ ve dizinin yakınsaklığından

$d(x_M,x)\le\epsilon/2$ yazabiliriz.

$M=N$ alırsak

$d(x_i,x)\le d(x_N,x)+d(x_i,x_N)=\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$

$d(x_i,x)\lt \epsilon$ elde edilir.