Question

$\mathbb{R}$'de $d(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$ olsun. $(\mathbb{R},d)$ metrik uzayında $(n)_n$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$(n)_n$ dizisinin $(\mathbb{R},d)$ metrik uzayında bir Cauchy dizisi olduğunu göstermek için

$$(\forall \epsilon>0)(\exists K\in\mathbb{N})(\forall n,m\geq K)(d(x_n,x_m)<\epsilon)\ldots (*)$$

önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

Verilmiş bir $\epsilon>0$ sayısı için $K\in\mathbb{N}$ sayısını nasıl seçmemiz gerektiğini anlamak için $d(x_n,x_m)$ uzaklığına bakalım.

$$\begin{array}{rcl} d(x_n,x_m) & = & |\arctan x_n-\arctan x_m| \\ \\ & = & |\arctan n-\arctan m| \\ \\ & = & \left|\arctan\left(\frac{n-m}{1+n\cdot m}\right)\right| \\ \\ & \leq & \left|\arctan\left(\frac{n-m}{n\cdot m}\right)\right| \\ \\ & \leq & \left|\arctan\left(\frac{n}{n\cdot m}\right)\right| \\ \\ & \leq & \left|\arctan\left(\frac{1}{m}\right)\right| \\ \\ & \leq & \arctan\left(\frac{1}{m}\right) \end{array}$$

olduğundan her $\epsilon>0$ için $K:=\left\lfloor \frac{1}{\tan\epsilon}\right\rfloor+1$ seçilirse her $n,m\geq K$ için $$\begin{array}{rcl} d(x_n,x_m) & = & |\arctan n-\arctan m| \\ \\ & \leq & \arctan{\frac1m} \\ \\ & \leq & \arctan \frac{1}{K} \\ \\ & = & \arctan{\frac{1}{\left\lfloor \frac{1}{\tan\epsilon}\right\rfloor+1}} \\ \\ & < & \arctan{\frac{1}{\frac{1}{\tan\epsilon}}} \\ \\ & = & \arctan(\tan\epsilon) \\ \\ & = & \epsilon\end{array}$$ koşulu sağlanır. O halde $(*)$ önermesi doğru yani $(n)_n$ dizisi $(\mathbb{R},d)$ metrik uzayında bir Cauchy dizisidir.