$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {s_{n}\left( a+1\right) } {ns_{n}\left( a\right) }$

Question

herhangi bir a için, $s_{n}\left( a\right) =1^{a}+2^{a}+\ldots +n^{a}$ iken

$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {s_{n}\left( a+1\right) } {ns_{n}\left( a\right) }=?$

Answer 1

$s_n(a)$ formülüne gerek yok. 

(Her $a\geq0$ için $x^a,\ [0,1]$ aralığında sürekli olduğu için) Darboux Formülünden:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{s_n(a)}{n^{a+1}}=\int_0^1x^a\;dx$$ olduğu için (her $a\geq0$ için):

$$\lim_{n\to\infty}\frac{s_n(a+1)}{ns_n(a)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{s_n(a+1)}{n^{a+2}}}{\frac{s_n(a)}{n^{a+1}}}=\frac{\int_0^1x^{a+1}\;dx}{\int_0^1x^a\;dx}$$ olur. Gerisi kolay.

Comments

çok sağolun. işin içinden çıkamamıştım öbür türlü

---

peki $a$ sıfırdan küçükken?

Answer 2

Örnegin $a=1$ için . $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{s_n(a+1)}{ns_n(a)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1^2+2^2+...n^2}{n(1+2+3+...+n)} =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n(n+1)(2n+1)/6}{n.n(n+1)/2}=2/3$ olur.

Comments

evet $a=-1$ içinde $0$ olduğunu buldum ama genel bir kural bulamadım.

---

$1^a+2^a+3^a+ ... + n^a$ için genel formül nedir? 

---

Bu toplama ilişkin bir formülün sayı numarasını bilmediğim Matematik dünyasında Sayın Tosun Terzioğlu hoca tarafından verildiğini hatırlar gibiyim. Kesin bilgiyi öğrenince yazarım.

---

Daha önce de söylediğim gibi:(http:www.matematik.dunyasi.org/arsiv/PDF/04_1_68_73_SAYILARIN GUCU.pdf) de istediğiniz toplamın cevabını bulabiirsiniz.

---

linkten ulaşamadım, 2004 yılı 1. sayı ama galiba değilmi?

---

http://matkafasi.com/3045/%24-sum_-k-1-n-k-5%24-toplaminin-sade-hali-nedir

---

teşekkürlerrrrrrr

---

http://www.matkafasi.com/13783/%24p-geq1%24-pozitif-bir-tam-sayi-ise-geq-frac-oldugunu-gosterin

---

Evet öyle ama ben Link nasıl verilir bilemediğim için öyle yazdım.

Siz link vermenin yöntemini biliyorsanız  lütfen bana yazarmısınız. teşekkürler.

---

Sercan bey,

Ben çözümlerde link vermeyi bilmiyorum. Bu sebeple de bazen uzun uzun şeyler yazmak zorunda kalıyorum. Sizden rica etsem bana Link yazmanın kuralını bir örnekle zahmet olmazsa bildirebilirmisiniz? Çok teşekkürler.

---

Yazı metinini yazdığımız yerin en üst kısmında, bold italic underline olan bir sekme var (B I U) şeklinde, ordaki sondan ikinci link seçeneği.

---

teşekkürler hocam.