Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
145 kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (621 puan) tarafından  | 145 kez görüntülendi
o soruyu hatırlıyorum da bu kadar benzer olduğunu hatırlamıyordum. birde yüksek lisans için önerilmişti önsözünde yanlış hatırlamıyorsam, ne bilmemiz gerektiğini istemiş okumak için tam yazılmamıştı, ya da ben bulamadım? inceleme şansın oldu mu?

Bir de su soruyu ekleyeyim, yorumlarda da guzel teknikler var: http://matkafasi.com/15328/%24-sum_-k-0-infty-1-k-dfrac2-2k-1-3-%24-toplaminin-degerini-bulunuz

$${\sin(2n+1)=\Im[e^{i(2n+1)}]}$$

olarak yazılırsa bir şeyler bulunabilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Daha önce buradaki soruda $\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}$ fonksiyonunun $[0,\pi]$ aralığındaki $x$ ekseni ile arasında kalan alanı hesaplamıştım.

Bu fonksiyonunun bir kaç özelliği var :

  • $2\pi$ periyotlu kare dalga .
  • $[0,\pi]$ aralığında $x$ ekseni ile arasında kalan alan $\frac{\pi^2}{4}$ olduğundan , (ilgili soruda çözüm mevcut) dalganın genliği $\frac{\pi}{4}$ .
  • Burada fonksiyonun yaklaşık bir grafiği var.


Soruda bizden istenen $\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}$ serisinin değeri.Yukarıda verdiğim bilgilerden yararlanarak bu serinin değerinin $\frac{\pi}{4}$ olduğunu söyleyebiliriz ($x$ yerine $1$ koyarak).

$$\boxed{\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}=\frac{\pi}{4}}$$

Kısaca yaptığımız iş : Seriyi çözmek için $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}$ şeklinde bir fonksiyon yazmak ve $x$ yerine $1$ vermek.Fonksiyon yukarıda yazdığım gibi kare bir dalga.Kare dalga olduğundan alabileceği iki değer var.Bu değerlerde genliktir.Fonksiyonun aldığı değerler $\frac{\pi}{4}$ ve $-\frac{\pi}{4}$.

Hatta çözümü daha da genişletilmiş bir halde yazalım :

$$\boxed{\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}=\begin{cases}\frac{\pi}{4}&0<x<\pi\\-\frac{\pi}{4}&\pi<x<2\pi\end{cases}}$$

(1.1k puan) tarafından 
18,561 soru
20,848 cevap
67,931 yorum
19,296 kullanıcı