$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$ serisinin karakteri

1 beğenilme 0 beğenilmeme
189 kez görüntülendi

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}$ serisinin karakterini belirleyiniz. (yakinsak-iraksak)


Ek olarak: Biraz once wolframdan bakayim dedim, serinin tam degerini verdi... Tam olarak hesaplamak mumkun mu? 

20, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu
20, Mart, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

KONRAD KNOPP, THEORY AND APPLICATION OF INFINITE SERIES,

BLACKIE & SON LIMITED, 1954.

Sorunun cevabı yukarıdaki kitabın  375. sayfasında bulunabilir. Kitabın Fourier serileri kısmında çok daha fazla bilgi var.

\[
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}=\left\{
\begin{array}{ccc}
\frac{\pi -x}{2} &  & 0<x<2\pi  \\
0 &  & x=0,2\pi
\end{array}
\right.
\]

21, Mart, 2015 UnluYusuf (525 puan) tarafından  cevaplandı
28, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

hocam karsilastirma testi vardi an<cn olmak uzere 

cn yakinsaksa an de yakinsaiktir 

sinn/n<1/n den bu nedenle cn=1/n aliriz 1/n diziside harmonik seri oldugundan iraksaktir istisna idi bu

1, Mayıs, 2015 sinanoksuz (84 puan) tarafından  cevaplandı

Çözümde eksiklikler ve yanlışlıklar var. İlk olarak pozitif tanımlı olmadığından kıyaslayamayız lakin mutlak değerini kıyaslayabiliriz. Eğer bir seri üsten sınırlı değilse zaten ıraksaktır. Eğer üstten sınırlı ise  (pozitif tanımlı (aslında olmasına da gerek yok)) üsten sınırının sonsuza kadar toplamı da  ıraksaktır (eger sıfır değilse ki pozitif tanımlılarda sıfır olması sadece hepsinin sıfır oldugu durumda olur), yani istisnai değil, sadece yanlış seçim. 

Eğer konuya yeni başlayan biri iseniz ters örnekleri bulmanızı tavsiye ederim, bu anlamanıza daha çok yardımcı olur kanaatindeyim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

ben şöyle bi çözüm yapıyorum. yanlışlarım eksiklerim varsa lütfen uyarın beni..

$\frac{sin(n)}{n}$=$\frac{i.e^{-i.n}-i.e^{i.n}}{2n}$ olmak üzere

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{sin(n)}{n}$=$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{i.e^{-i.n}-i.e^{i.n}}{2n}$=${\frac{i}{2}}.{\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-i.n}-e^{i.n}}{n}}$=$\lim_{k->{\infty}}[{\frac{i}{2}}.{\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{e^{-i.n}-e^{i.n}}{n}}]$   .................(*)

$-ln(1-x)$=$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n}}$  olmak üzere

$=>$ ${\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{e^{-i.n}-e^{i.n}}{n}}$=${\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{e^{-i.n}}{n}}-{\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{e^{i.n}}{n}}$      bunu (*) da yerine yazalım.

$=>$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{sin(n)}{n}$=$lim_{k->{\infty}}{\frac{i}{2}}.[{\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{e^{-i.n}}{n}}-{\sum\limits_{n=1}^{k}\frac{e^{i.n}}{n}}]$

                        =${\frac{i}{2}}$.[$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-i.n}}{n}-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{i.n}}{n}$]

                        =$\frac{i}{2}$.[$-ln(1-e^{-i})-(-ln(1-e^{i}))$]

                        =$\frac{i}{2}$.[$ln(1-e^{i})-ln(1-e^{-i})$]  olur.

2, Mayıs, 2015 ece çelik (339 puan) tarafından  cevaplandı
...