Question

$\sum _{n=0}^{\infty }\dfrac {\sin \left( 2n+1\right) } {2n+1}=?$

Comments

Ilgili olarak: http://matkafasi.com/4397/%24-sum-limits_-n-1-infty-frac-sin-n-n-%24-serisinin-karakteri

---

o soruyu hatırlıyorum da bu kadar benzer olduğunu hatırlamıyordum. birde yüksek lisans için önerilmişti önsözünde yanlış hatırlamıyorsam, ne bilmemiz gerektiğini istemiş okumak için tam yazılmamıştı, ya da ben bulamadım? inceleme şansın oldu mu?

---

Bir de su soruyu ekleyeyim, yorumlarda da guzel teknikler var: http://matkafasi.com/15328/%24-sum_-k-0-infty-1-k-dfrac2-2k-1-3-%24-toplaminin-degerini-bulunuz

---

$${\sin(2n+1)=\Im[e^{i(2n+1)}]}$$

olarak yazılırsa bir şeyler bulunabilir.

---

n-terim testi uyguladığımızda limit tanımsız oluyor.Buda bizim serimize ıraksak dememize yeterli olmuyor mu ?

---

Elif, iç terim limiti tanımlı ve $0$.

---

yazdıktan sonra farketmiştim, gizlemekte istemedim

Answer 1

Daha önce buradaki soruda $\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}$ fonksiyonunun $[0,\pi]$ aralığındaki $x$ ekseni ile arasında kalan alanı hesaplamıştım.

Bu fonksiyonunun bir kaç özelliği var :

• $2\pi$ periyotlu kare dalga .
  
• $[0,\pi]$ aralığında $x$ ekseni ile arasında kalan alan $\frac{\pi^2}{4}$ olduğundan , (ilgili soruda çözüm mevcut) dalganın genliği $\frac{\pi}{4}$ .
• Burada fonksiyonun yaklaşık bir grafiği var.
  

Soruda bizden istenen $\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}$ serisinin değeri.Yukarıda verdiğim bilgilerden yararlanarak bu serinin değerinin $\frac{\pi}{4}$ olduğunu söyleyebiliriz ($x$ yerine $1$ koyarak).

$$\boxed{\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}=\frac{\pi}{4}}$$

Kısaca yaptığımız iş : Seriyi çözmek için $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}$ şeklinde bir fonksiyon yazmak ve $x$ yerine $1$ vermek.Fonksiyon yukarıda yazdığım gibi kare bir dalga.Kare dalga olduğundan alabileceği iki değer var.Bu değerlerde genliktir.Fonksiyonun aldığı değerler $\frac{\pi}{4}$ ve $-\frac{\pi}{4}$.

Hatta çözümü daha da genişletilmiş bir halde yazalım :

$$\boxed{\sum_{n=0}^\infty\:\frac{\sin\big((2n+1)x\big)}{2n+1}=\begin{cases}\frac{\pi}{4}&0<x<\pi\\-\frac{\pi}{4}&\pi<x<2\pi\end{cases}}$$