Question

$(\sin n)$ dizisi, $\mathbb{R}$'de bir Cauchy dizisi midir? Yanıtınızı kanıtlayınız.

Comments

$\sin{n}$ dizisi yakinsak degil, reel sayilar tam, her cauchy dizisi yakinsarsa bir uzay tam olur, demek ki $\sin{n}$ cauchy de degil. kulagi tersten tuttum ama oldu galiba ?

---

Bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter şart Cauchy dizisi olmasıdır teoremine göre  $\sin n$ dizisi Cauchy dizisi değildir. Çünkü dizi yakınsak değildir.

---

Neden yakınsak değil peki?

---

Çeliskiye düşülerek yapilan bir kanitini biliyorum. Vaktim olunca yazarim. Sizin bildiğiniz kanit nedir?

---

Benimki de öyle gibi. Iki adımdan oluşuyor. İlk adımda limit olsaydı, sıfırdan başka bir şey olamayacağını gösteriyoruz, sonra da limitin sıfır olamayacağını gösteriyoruz.

Ana fikir: reel sayılar doğrusunda sıfırdan başlayıp, pozitif yönde yürüyelim. Her doğal sayıda durup, o sayıda fonksiyonun değerine bakalım. Bu değerler bizim dizimizin terimleri. Şimdi düz düz bir çizgi üzerinde yürümek yerine, reel sayı doğrusunu birim çember üzerine sardığımızı düşünelim. Her 2pi'lik yürüyüş bir tam tura denk gelsin.

Pi sayısı 2'den büyük olduğu için, pi/2 de, 1'den büyük olur. Bu da demek oluyor ki yukarıdaki şanlı yürüyüşümüzü yaparken çemberin üstündeki her bölgeye (birinci bölge, ikinci, üçüncü, dördüncü bölge) mutlaka uğruyoruz her seferinde. Zira her bölgenin uzunluğu 1'den büyük ve biz her doğal sayıda duruyoruz (ardışık doğal sayılar arasındaki mesafe 1). Bu da demek oluyor ki dizimizin terimleri bir pozitif bir negatif oluyor sürekli. Böyle bir durumda limit varsa ancak 0 olabilir.

Ikinci adım da buna benzer. Çemberde [pi/4, 3pi/4] aralığına karşılık gelen yayın uzunluğu pi/2. Yukarıdaki sebepten ötürü, çemberin etrafındaki her turumuzda bu bölgede durmak zorundayız. Ama bu bölgede sinüs $\sqrt{2}/2$'den küçük olamıyor. Demek ki sıfıra yaklaşamıyoruz.

---

Çelişki elde etmemişim, direkt kanıt vermişim.

---

Bu soruyu da hatırlatayım:
​​​​​​​https://matkafasi.com/129603

Answer 1

Ozgur ün cevabına biraz benzer şekilde, iddia şöyle de ispatlanabilir.

$(\sin n)$ dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu varsayıp bir çelişki elde edelim.

($\pi>3$ olduğunu kullanacağız)

$\varepsilon=1$ alalım. Varsayımımızdan,

$\forall n,m>N$ için $|\sin n-\sin m|<1$ olacak şekilde bir $N$ doğal sayısı vardır.

(Uzunluğu 1 den büyük olduğu için) $(2N\pi+\frac\pi6, 2N\pi+\frac{\pi}2)$ aralığında bir $n$ doğal sayısı vardır.

(Uzunluğu 1 den büyük olduğu için) $(2N\pi+\frac{7\pi}6, 2N\pi+\frac{3\pi}2)$ aralığında bir $m$ doğal sayısı vardır.

$n,m>N$ olduğu apaçık, ayrıca, aralık seçiminden, $\frac12<\sin n<1$ ve $-1<\sin m<-\frac12$ olur.

Buradan da, $|\sin n-\sin m|>1=\varepsilon$ çelişkisi çıkar.

Answer 2

$\sin{n}$ için limit $s$ olsun. $$\sin{(n+1)}= \sin{n}\cos{1}+\cos{n}\sin{1}$$eşitliğini kullanırsak $\cos{n}$ için de limit olmalı, buna da $c$ diyelim.

Benzerini $\cos{(n+1)}$ için de yaparsak elimizde$$s=s\cdot\cos{1} + c\cdot\sin{1}$$$$c=c\cdot\cos{1} - s\cdot\sin{1}$$eşitlikleri olur.

 $\sin^2{n}+\cos^2{n}=1$ olduğundan $s^2+c^2=1$ eşitliği sağlanır. Üstteki eşitlikleri sırası ile $s$ ve $c$ ile çarpıp taraf tarafa toplarsak $$1=\cos{1}$$ eşitliğini elde ederiz. Bu da bir çelişki verir.

Comments

Sercan kanıtı yazmış. Benim bildiğinin aynısı. Eline sağlık Sercan hocam.

Answer 3

Yorumlarda reel sayılar tam olduğu için, bu dizinin yakınsak olmadığını göstermenin yeterli olduğu söylenmiş. Ben de öyle yapacağım. Kanıt Iki adımdan oluşuyor. İlk adımda limit olsaydı, sıfırdan başka bir şey olamayacağını gösteriyoruz, sonra da limitin sıfır olamayacağını gösteriyoruz.

Ana fikir: reel sayılar doğrusunda sıfırdan başlayıp, pozitif yönde yürüyelim. Her doğal sayıda durup, o sayıda fonksiyonun değerine bakalım. Bu değerler bizim dizimizin terimleri. Şimdi düz düz bir çizgi üzerinde yürümek yerine, reel sayı doğrusunu birim çember üzerine sardığımızı düşünelim. Her 2pi'lik yürüyüş bir tam tura denk gelsin.

Pi sayısı 2'den büyük olduğu için, pi/2 de, 1'den büyük olur. Bu da demek oluyor ki yukarıdaki şanlı yürüyüşümüzü yaparken çemberin üstündeki her bölgeye (birinci bölge, ikinci, üçüncü, dördüncü bölge) mutlaka uğruyoruz her seferinde. Zira her bölgenin uzunluğu 1'den büyük ve biz her doğal sayıda duruyoruz (ardışık doğal sayılar arasındaki mesafe 1). Bu da demek oluyor ki dizimizin terimleri bir pozitif bir negatif oluyor sürekli. Böyle bir durumda limit varsa ancak 0 olabilir.

Ikinci adım da buna benzer. Çemberde [pi/4, 3pi/4] aralığına karşılık gelen yayın uzunluğu pi/2. Yukarıdaki sebepten ötürü, çemberin etrafındaki her turumuzda bu bölgede durmak zorundayız. Ama bu bölgede sinüs $\sqrt{2}/2$'den küçük olamıyor. Demek ki sıfıra yaklaşamıyoruz.

Comments

Yanlış anlamadıysam her doğal sayıda dizinin işaret değiştirdiğini söylüyorsunuz. Ama sin 1,sin 2,sin 3 pozitif ve sonra sin 4,sin 5,sin 6 negatif değer alıyor. Açıları radyan olarak aldım.

---

Her doğal sayıda işaret değişiyor demek istememiştim ama bir pozitif bir negatif oluyor diyince öyle anlaşılıyor, haklısınız. Sürekli işaret değiştiriyor, hep aynı işarette kalmıyor demek istedim.

---

Içinize $sin(n)$ bir kanıt oldu mu :)

---

ooo sin(n) esprileri :))

---

Teşekkürler Özgür. Sindireceğiz inşallah.