Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
497 kez görüntülendi
$G=S_4$ ve $H=V_4 \to H \lhd G$.

$G/H$ abel bir grup mudur?

$V_4 = \{ (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) \} \lhd Sym4$

$|G|=24$ ve $|V_4|=4 \to |G:H|=6$ Dolasıyla $G/H \cong S_3$ veya $G/H \cong \mathbb{Z}_{6}$

Nasıl gösterebilirim? Yardımcı olabilir misiniz?
Lisans Matematik kategorisinde (303 puan) tarafından  | 497 kez görüntülendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
6 elemanlı bir grubun değişmeli olup olmadığını bulmak için eleman tablosuna bile bakılabilir, yani elemanları çarpıp değişme özellikleri olup olmadığını görebilirsiniz. Ya da içinde derecesi 6 olan bir eleman olup olmadığına bakabilirsiniz.
(98 puan) tarafından 
$g_1Hg_2H=g_1g_2H$ ama $g_1,g_2$ ayrık ve klein gruptan değillerse değişmezler
$S_4$ten herhangi eleman alıp diyelim ki bu $g=(1234) $,

$gH$ şu demek değil mi? $(1234)H$

6 elemanı nasıl belirleyebilirim?
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Yazdığınız gibi $H$, $G$ içinde normal bir altgrup.

Şimdi, bölüm grubunun $\mathbb Z_6$'ya izomorf olması demek bölüm grubununda mertebesi $6$ olan eleman var demek. Bunun imkanı yok çünkü $S_4$'ün kendisinde öyle bir eleman yok.
(234 puan) tarafından 
Ben bunu tam anlayamadım.

"G herhangi bir grup olsun, H de normal bir altgrup olsun. Eğer G/H'de mertebesi n olan bir eleman varsa G'de de vardır"

Bunu mu kullanıyorsun?
Şu şekilde düşünmüştüm: $x \in S_4 \to |x| \in \{1,2,3,4\}$
$G= \mathbb Z , H= 2\mathbb Z \to G/H \cong \mathbb Z_2$ ama $G$'de mertebesi $2$ olan bir eleman yok.

Yazdığınız sonlu gruplar için doğru olabilir.
$G= \mathbb{Z}$ ve $H = 3\mathbb{Z}$ olsun.

Aynı mantık burada çalışmıyor, değil mi?

Her $x \in \mathbb{Z}$ için $x$'in derecesi sıfır ya da sonsuz. Ama $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$'de derecesi üç olan bir eleman var.

Yani senin dediğin gibi " $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} $ içerisinde derecesi üç olan bir eleman olamaz çünkü $\mathbb{Z}$'de böyle bir eleman yok" diyemeyiz.

Senin argümanın bu dimi, yanlış anlamış da olabilirim.
Ben bu argümanı kullanmamıştım ama kullanabilirim. Birazcık göz atınca sonlu gruplar için doğru olduğunu gördüm.

Benim kullandığım argüman şu şekildeydi: $S_4$'ün eleman tiplerini ve mertebelerini bildiğimden, $gH$'nin mertebesini hesaplamak yeterli.

Demek istediğim, $g^2,g^3  = (1)$ oluyor.
Ah tamam şimdi anladım galiba. $G$'nin elemanlarının hepsinin derecesi $6$'dan küçük. Dolayısıyla, aynısı $G/H$'de de doğru olmak zorunda.

Teşekkür ediyorum.
20,217 soru
21,750 cevap
73,349 yorum
1,976,816 kullanıcı