Question

$G=S_4$ ve $H=V_4 \to H \lhd G$.

$G/H$ abel bir grup mudur?

$V_4 = \{ (1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) \} \lhd Sym4$

$|G|=24$ ve $|V_4|=4 \to |G:H|=6$ Dolasıyla $G/H \cong S_3$ veya $G/H \cong \mathbb{Z}_{6}$

Nasıl gösterebilirim? Yardımcı olabilir misiniz?

Answer 1

6 elemanlı bir grubun değişmeli olup olmadığını bulmak için eleman tablosuna bile bakılabilir, yani elemanları çarpıp değişme özellikleri olup olmadığını görebilirsiniz. Ya da içinde derecesi 6 olan bir eleman olup olmadığına bakabilirsiniz.

Comments

$g_1Hg_2H=g_1g_2H$ ama $g_1,g_2$ ayrık ve klein gruptan değillerse değişmezler

---

$S_4$ten herhangi eleman alıp diyelim ki bu $g=(1234)$,

$gH$ şu demek değil mi? $(1234)H$

6 elemanı nasıl belirleyebilirim?

Answer 2

Yazdığınız gibi $H$, $G$ içinde normal bir altgrup.

Şimdi, bölüm grubunun $\mathbb Z_6$'ya izomorf olması demek bölüm grubununda mertebesi $6$ olan eleman var demek. Bunun imkanı yok çünkü $S_4$'ün kendisinde öyle bir eleman yok.

Comments

Ben bunu tam anlayamadım.

"G herhangi bir grup olsun, H de normal bir altgrup olsun. Eğer G/H'de mertebesi n olan bir eleman varsa G'de de vardır"

Bunu mu kullanıyorsun?

---

Şu şekilde düşünmüştüm: $x \in S_4 \to |x| \in \{1,2,3,4\}$

---

$G= \mathbb Z , H= 2\mathbb Z \to G/H \cong \mathbb Z_2$ ama $G$'de mertebesi $2$ olan bir eleman yok.

Yazdığınız sonlu gruplar için doğru olabilir.

---

$G= \mathbb{Z}$ ve $H = 3\mathbb{Z}$ olsun.

Aynı mantık burada çalışmıyor, değil mi?

Her $x \in \mathbb{Z}$ için $x$'in derecesi sıfır ya da sonsuz. Ama $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$'de derecesi üç olan bir eleman var.

Yani senin dediğin gibi " $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ içerisinde derecesi üç olan bir eleman olamaz çünkü $\mathbb{Z}$'de böyle bir eleman yok" diyemeyiz.

Senin argümanın bu dimi, yanlış anlamış da olabilirim.

---

Ben bu argümanı kullanmamıştım ama kullanabilirim. Birazcık göz atınca sonlu gruplar için doğru olduğunu gördüm.

Benim kullandığım argüman şu şekildeydi: $S_4$'ün eleman tiplerini ve mertebelerini bildiğimden, $gH$'nin mertebesini hesaplamak yeterli.

Demek istediğim, $g^2,g^3  = (1)$ oluyor.

---

Ah tamam şimdi anladım galiba. $G$'nin elemanlarının hepsinin derecesi $6$'dan küçük. Dolayısıyla, aynısı $G/H$'de de doğru olmak zorunda.

Teşekkür ediyorum.