$H\leq C_{G}\left( H\right) \Leftrightarrow H$ abelyansa.
Tanımı yazarak başlıyım.
$C_{G}\left( H\right) =\{ g\in G:gH= Hg\} $
sol tarafı kabul ederek başlayalım , $H\leq C_{G}\left( H\right)$
o halde bir $h\in H$ için $gh=hg,g\in G$ dir.Ama abel olması için her $g$ için olması lazım burada takıldım.
şimdi sağ tarafı kabul edelim H abel olsun. o halde $\forall h,y\in H,hy=yh$
alt grup olduğunu göstermek için
$e_{H}\cdot y=y\cdot e_{H}=y\rightarrow e\in H$
$h_{1},h_{2}\in H$ olsun $h_1.h_2\in(?) H$
= $\rightarrow \left( h_{1}\cdot h_{2}\right) y=h_{1}\left( yh_{2}\right) =yh_{1}h_{2}$ , $h_1.h_2 \in H$
$\begin{aligned}h\in H,h^{-1}\in(?) H,hy=yh,\forall y\in H\\
y=h^{-1}yh\rightarrow yh^{-1}=h^{-1}y\end{aligned}$
Yani $H\leq C_{G}\left( H\right)$
? işaretini kullanma sebebim , acaba elemanı mı diye sormamdandır.