$G=H\times K$ ise $C_G(H)= Z(H)\times K$ olduğunu gösterin.

Question

$H,\ K$ herhangi iki grup olsun.

$G=H\times K$ ise $C_G(H)= Z(H)\times K$ olduğunu gösterin. (Yazma kolaylığı bakımından $H=\{(h,e_K):h\in H\},\ K=\{(e_H,k):k\in K\}$ varsaydık)

($Z(H):\ H$ nin merkezi, $C_G(H):\ H$ nin $G$ de merkezleyeni.

Answer 1

Birbirlerini içerdiklerini göstermek yeterli.

$C_G (H)=\{ g \in G : hg =gh, \forall h \in H \}$ $= \{ (h,k) \in G=H\times K : (h,k)(h_1,e_K) =(h_1,e_K)(h,k), \forall h=(h_1,e_K) \in H \}$

$= \{ (h,k) \in G : (hh_1,k) =(h_1h,k), \forall h=(h,e_K) \in H \}$. Buradan elimizde şu mevcut, $hh_1=h_1h$.

Şimdi,

$\Rightarrow:$ Keyfi bir $g=(h,k) \in C_G (H)$ seçelim. Yukarıda görüldüğü üzere, $h$ otomatikman $Z(H)$'nin bir elemanı oluyor. Çünkü, $h$, $H$'nin her elemanıyla yer değiştiriyor. Demek ki, $g=(h,k) \in Z(H) \times K$

$\Leftarrow:$ Tekrardan keyfi bir $(h,k) \in Z(H) \times K$ seçelim. Soru şu, bu $H$'nin $G$'deki merkezleyicisinde mi? Tanımı kullanarak evet diyebiliriz.