Question

$H\leq C_{G}\left( H\right) \Leftrightarrow H$ abelyansa.

$C_{G}\left( H\right) =\{ g\in G:gH= Hg\}$

Comments

Bu soruda istenen bu olmamalı.

Soruda H nın alt grup olduğu VERİLMİŞ olmalı.

O içermeden, H nın alt grup olduğu gösterilemez.

---

Hocam haklısın.İlk başta belirtmiş.

Sorunun orjinali şöyle : 

Answer 1

$\rightarrow C_G(H)$ abel bir grup bundan dolayı her altgrubu abelyan. Sol taraf bariz.

$\leftarrow H$ abel grupsa $C_G(H)=H$ olur.

Comments

$C_G(H)$ niye Abel grup?

---

$C_G(H)$ şu demektir, öyle $g \in G$lerden oluşuyorki bu $g$ler $H$'nin her elemanı ile değişiyor.

---

Merkezleyici, G içinde değişmeli grup olmayabilir ama H'nin içinde değişmeli

---

"H'nin içinde değişmeli" ne demek?

$G=A_6\times A_5,\ H=\{(\sigma,e):\sigma\in A_6\}$ olsun. $C_G(H)=\{(e,\sigma):\sigma\in A_5\}$ olmaz mı?

(Daha genel olarak: $G=H\times K$ ise $C_G(H)\cong Z(H)\times K$ olmaz mı?)

---

$\rightarrow$ Aslında sol kısmı ispatlarken demek istediğim şu, rastgele $h_1,h_2\in H$ aldığımda bu varsayımdan ötürü $h_1h_2=h_2h_1$. O halde $H$ abeldir

---

$H\leq C_{G}\left( H\right) \to$ her $h\in H$ aynı zamanda $h\in C_G(H)$. Keyfi seçilmiş $h$, $H$'nin her elemanı ile yer değiştirebiliyorsa H abeldir