Question

$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} _{2}\not \cong \mathbb{Z} $ olduğunu gösterin.

$\mathbb{Z} $ devirli bir grup.Sol tarafın devirli olmadığını gösterirsem yeterli olacak.

$1\in \mathbb{Z} ,\overline {1}\in \mathbb{Z} _{2}$ alalım(alma sebebim iki grubun üreteçlerini almak istedim)

$\left( 1,\overline {1}\right) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} _{2} $ ama grubu üretmiyor.

Bunları yaparken tatmin olmadım sol tarafın devirli olmadığını nasıl gösteririm ? Deneme yanılma yolu ile mi yapmalıyım ?

Comments

Elbette soldaki grubun devirli olmadığı gösterilebilir. Ama başka yollar da deneyebilirsin.

---

$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$ devirli olmadığını nasıl gösterebilirim ?

---

$(82, 1)$ elemanı bu grup için bir üreteç olmaz çünkü $(164,1)$ elemanı $(82,1)$'in gerdiği altgrubun içinde yer almaz. Aynı sebeple $(82,0)$ elemanı da bir üreteç olamaz. Bunu genelleştir.

Answer 1

$(0,\overline{1})\in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2$ sol tarafta derecesi iki olan bir eleman.

Tamsayılarda ise her elemanın derecesi sonsuz. Oysa bu iki grup arasında bir eşyapısal dönüşüm olsa derecesi iki olan eleman derecesi iki olan bir başka elemana giderdi.

Answer 2

Sonsuz devirli gruplar $\mathbb Z$'ye, sonlu devirli gruplar $\mathbb Z_n$`ye izomorf. Bu zaten verilmiş cevaplardan birisi.

Diğeri için eğer soldaki grup devirli ise bunun üretici için en ideal aday $(1,1)$. Bu arada bu iki $1$ birbirinden farklı. Soldaki $1$,  $\mathbb Z$ için üreteç diğeri $\mathbb Z_2$ için. (zaten $2$ elemanlı ve $0$ ile üretemeyeceğimiz kesin.) Ama bu üreteçi kullanarak $(2,1)$`i üretemeyiz.