Question

$\mathbb{Q} \not \cong \mathbb{Z}$

Aşağıda yazdığım gibi bir ispat verilmiş. Size kaçırdığım bir kısmı sormak istiyorum.

$\mathbb{Q}  \to \mathbb{Z}$ olacak şekilde bir $f$ fonksiyonu olduğunu varsayalım.

$r\in \mathbb{Q}$ öyle ki $f(r)=1_\mathbb{Z}=1$ vardır. Şimdi şunu göz önüne alalım $f(2\dfrac{r}{2})=^*2f(\dfrac{r}{2})=1 \to \dfrac{r}{2}=\dfrac{1}{2}$ Çelişki.

Anlamadığım kısım yıldızla gösterdim. Eğer f bir isomorfluğu temsil ediyosa birebir-örten ve homomorf olmalı. Burada $2$yi nasıl dışarı çıkarabildi.Bu $2$yi dışara çıkarabilme hakkımız nereden geliyor?

Bence ispat şu şekilde olmalıydı, $f(2\dfrac{r}{2})=f(2)f(\dfrac{r}{2})=1$ ($f(2)=c, c\in \mathbb{Z} \to c.f(\dfrac{r}{2})=1$ ise $f(\dfrac{r}{2})=\dfrac{1}{c} \notin \mathbb{Z}$ Çelişki

Comments

Bunların üzerindeki cebirsel yapı ne? Halka yapısını mı inceliyorsun, abelyen grup yapısını mı, yoksa ne yapısını? Buradan hareketle elindeki fonksiyon hangi yapıyı koruyan bir fonksiyon?

---

bu ikisini grup olarak ele alınmış. İzormofizma alıştırmalarını inceliyodum, alıştırma sorularında buldum bu soruyu.

---

Okay. Demek ki toplamsal gruplardan bahsediyoruz. Dolayısıyla senin yapmış olduğun

$$f(2\frac r2) = f(2)f(\frac r2)$$

eşitliğine izin yok.

2'yi dışarı alabilmesinin sebebi şu: $2x = x+x$ olduğu için $f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)$diyebilirim.

---

doğru teşekkür ederim