Question

$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ (dogru ya da yanlis) oldugunu gosteriniz. ($i^2=-1$)

Comments

ben de diyorum neden takıldım. $i^2=-1$'i görünce bir anda kolaylaştı her şey :)

Answer 1

Genel olarak su dogru:

$A$ ve $B$ birer $S$ cebri iseler ve $I\subseteq B$ bir ideal, $I^ e$ de $I$ idealinin $A\otimes_S B$ icindeki goruntusunun urettigi ideal ise $$A\otimes_S B/I\simeq (A\otimes_S B)/I^e.$$ O halde $S=\mathbb{Q}$ ve $A=\mathbb{C}$, $B=\mathbb{Q}[X]$ ve son olarak $I=X^2+1$ alirsak sunu elde ederiz: $$\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)=\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[X]/I=(\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}[X])/I^e\\ =\mathbb{C}[X]/(X^2+1)$$ Sorudaki esitlik, bu esitlige cinli kalan teoremi uygulanarak elde edilir.

Comments

Tesekkur ederim. Biz de arkadasla bunun ozel halini uygulamistik. Son kisim icin 1 ve x baz elemani da diyebiliriz. Ilk gordugumde garip geldi gozume. 

---

Rica ederim, ben de seni benzer bir soru olan ayrilabilir genislemlerin tensor carpim altindan sifir guclu olmayan halkalar urettigi savinin ispatina davet ediyorum.

http://matkafasi.com/1330/ayrilabilir-separable-genislemeler

---

Bu soru favorilerim arasinda (neredeyse tum sorularin hatta) :) ama bilgi dagarcigim icinde degil ne yazik ki. Gencligimi hor kullandim :/ Su an S_n sorusunu okuyorum hatta. Sayende matematik ogreniyorum.

---

Verebilecegim tek yanit: Estagfurullah, fazla abarttin.

---

Merak etme hepsini ogrenmiyorum :) cidden bu sene basladim adam gibi calismaya.. iyi oluyor bu sorulari gormek.. hem arastirma hem calisma da zormus.. ama zararin neresinden donersen kar..

Answer 2

Bu sonuç, $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)$ yapısını vektör uzayı olarak görürsek de, bir cebir olarak görürsek de doğru. (Bilgi Notu: $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i)$ üzerine çarpma, $(a\otimes b)(a' \otimes b') = aa' \otimes bb'$ kısmi çarpımı dağılma özelliği kullanarak genişletilen işlemdir.)

Önce vektör uzayı olarak görelim:

$$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) = \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}i) \simeq (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}) \oplus (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}i) \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}i \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}.$$

Şimdi de cebir olarak görelim. O zaman

$$\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(i) = \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}i) \simeq (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}) \oplus (\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}i) \simeq \mathbb{C} \oplus \mathbb{C}i \simeq \mathbb{C}[X]/\langle X^2+1\rangle$$

olur. En sondaki cebir de $\mathbb{C} \oplus \mathbb{C}$ cebirine (cebirlerin kartezyen çarpımı) şu nedenle izomorftur:

$$\mathbb{C}[X]/\langle X^2+1\rangle \simeq \mathbb{C}[X]/\langle (X-i)(X+i)\rangle \simeq \mathbb{C}[X]/\langle X+i\rangle \oplus \mathbb{C}[X]/\langle X-i\rangle \simeq \mathbb{C}\oplus \mathbb{C}.$$

Birinci izomorfizmayla ikinci izomorfizmanın aynı olmadığını dikkatinize sunarım.

Tansör çarpımı için https://matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/300_tensor.pdf adresindeki (tam bitmemiş) Türkçe makaleden yararlanabilirsiniz.

Comments

Arada fark göremedim ama?

---

$\mathbb{C}[X]$ halkasına Çinli kalan teoremini uygulayabiliriz. $(X^2+1)$ ideali $(X-i)(X+i)$ idealine eşit ve bu idealler $\mathbb{C}[X]$ içinde farklı asallar. Bu yüzden $$\mathbb{C}[X]/{(X^2+1)}\simeq \mathbb{C}[X]/(X-i)\times \mathbb{C}[X]/(X+i)\simeq \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$ değil mi?

---

Haklısın, düzeltiyorum.